Question

【題目】如圖，已知過點(diǎn)的橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若P為線段OD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線PA交橢圓于另一點(diǎn)E，直線PB交橢圓于另一點(diǎn)Q．

①求直線PA與PB的斜率之積；

②判斷直線AB與EQ是否平行？并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)1．(2) ① ．②平行．理由見解析

【解析】

（1）離心率值轉(zhuǎn)化為關(guān)系，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）①求出方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，可求出直線PA與PB的斜率之積；

②求出直線方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入斜率公式，求出直線的斜率，然后再判斷與直線是否平行.

（1）∵橢圓過點(diǎn)D（，）,且離心率為

∴，

∴橢圓的方程為1．

（2）①由（1）知A（﹣2，0），B（0，1），

直線OD方程為y，

點(diǎn)P在直線OD上，設(shè)P（﹣2y0，y0），

kPAkPB．

②設(shè)E（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立直線AP：y與橢圓的方程得，

（2y02﹣2y0+1）x2+4y02x+8y0﹣4＝0，

∴﹣2+x1，

∴x1，y1，

聯(lián)立直線BP：y與橢圓的方程得，

，

∴x2，y2，

∴

又因?yàn)?/span>kAB，∴kAB＝kEQ，

∴直線AB與EQ是平行．