Question

持續(xù)性的霧霾天氣嚴(yán)重威脅著人們的身體健康，汽車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一．為此，某城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車尾號(hào)限行，該市報(bào)社調(diào)查組為了解市區(qū)公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：

年齡（歲）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75]
頻數(shù)	5	10	15	10	5	5
贊成人數(shù)	4	6	9	6	3	4

（Ⅰ）請(qǐng)估計(jì)該市公眾對(duì)“車輛限行”的贊成率和被調(diào)查者的年齡平均值；
（Ⅱ）若從年齡在[15，25），[25，35）的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記被選4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）若在這50名被調(diào)查者中隨機(jī)發(fā)出20份的調(diào)查問卷，記η為所發(fā)到的20人中贊成“車輛限行”的人數(shù)，求使概率P（η=k）取得最大值的整數(shù)k．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表能求出該市公眾對(duì)“車輛限行”的贊成率和被調(diào)查者年齡的平均值．
（Ⅱ）依題意得ξ=0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）由P（=k）=

C k 32 C 20-k 18

C 20 50

，其中k=2，3，4，…，20．得到

C k+1 32 C 19-k 18

C k 32 C 20-k 18

=

(32-k)(20-k)

(k+1)(k-1)

，由此能求出使概率P（η=k）取得最大值的整數(shù)k．

解答： 滿分（13分）．
解：（Ⅰ）該市公眾對(duì)“車輛限行”的贊成率約為：

32

50

×100%=64%．…（2分）
被調(diào)查者年齡的平均約為：

20×5+30×10+40×15+50×10+60×5+70×5

50

=43．…（4分）
（Ⅱ）依題意得ξ=0，1，2，3，…（5分）
P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 5

•

C 2 6

C 2 10

=

6

10

•

15

45

=

15

75

，
P（ξ=1）=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 6

C 2 10

+

C 2 4

C 2 5

•

C 1 4 C 1 6

C 2 10

=

34

75

，
P（ξ=2）=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 4

C 2 10

=

22

75

，
P（ξ=3）=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 4

C 2 10

=

4

75

，…（7分）
所以ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	15 75	34 75	22 75	4 75

所以ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

15

75

+1×

34

75

+2×

22

75

+3×

4

75

=

6

5

． …（9分）
（Ⅲ）∵P（=k）=

C k 32 C 20-k 18

C 20 50

，其中k=2，3，4，…，20．…（10分）
∴

C k+1 32 C 19-k 18

C k 32 C 20-k 18

=

(32-k)(20-k)

(k+1)(k-1)

，…（11分）
當(dāng)

(32-k)(20-k)

(k+1)(k-1)

≥1，即k≤12+

17

52

時(shí)，P（η=k+1）≥P（η=k）；
當(dāng)

(32-k)(20-k)

(k+1)(k-11)

＜1，即k＞12+

17

52

時(shí)，P（η=k+1）＜P（η=k）．…（12分）
即P（η=2）＜P（η=3）＜P（η=4）＜…＜P（η=13），
P（η=13）＞P（η=14）＞P（η=15）＞…＞P（η=20）．
故有：P（η=k）取得最大值時(shí)k=13．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查樣本頻率分布、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用用意識(shí)，考查必然與或然思想等．