Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF⊥平面PCD；
（2）求證：平面PCE⊥平面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知可先證明AF⊥PC，由于CD⊥AD，PA⊥CD，且PA∩AD=A，可證CD⊥平面PAD，由AF?平面PAD，從而證明CD⊥AF，又CD∩PD=D，故有AF⊥平面PCD．
（2）取PC的中點(diǎn)G，連接EG，GF，可證EG∥AF，有AF⊥平面PCD，又EG⊥平面PCD，又EG?平面PCE，故可證平面PCE⊥平面PCD．

解答： 證明：（1）∵PA⊥底面ABCD，AD，CD?底面ABCD，PA⊥AD，PA⊥CD
又∠PDA=45°，∴△PAD為等腰三角形，∵F是FD的中點(diǎn)，∴AF⊥PC…2分
∵CD⊥AD，PA⊥CD，且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD
又AF?平面PAD，∴CD⊥AF，
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD…5分
（2）
取PC的中點(diǎn)G，連接EG，GF…8分
∵E為AB的中點(diǎn)，∴EA∥CD且EA=

1

2

CD
∵F為PD的中點(diǎn)，∴GF∥CD且GF=

1

2

CD
∴EA∥GF且GF=EA，∴四邊形AEGF是平行四邊形…10分
∴EG∥AF，∵AF⊥平面PCD
∴EG⊥平面PCD，又EG?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD…12分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的判定，屬于基本知識(shí)的考查．