【題目】給定空間中十個點,其中任意四點不在一個平面上,將某些點之間用線段相連,若得到的圖形中沒有三角形也沒有空間四邊形,試確定所連線段數(shù)目的最大值.

【答案】15

【解析】

以這十個點為頂點、所連線段為邊得一個十階簡單圖G.

下面證明:圖G的邊數(shù)不超過15.

設圖G的頂點為,共有k條邊,用表示頂點的度.

均成立,則.

假設存在頂點滿足.不妨設,且均相鄰.于是,之間沒有邊,否則,就形成三角形.從而,之間恰有n條邊.

對每個,至多與中的一個頂點相鄰(否則,設 相鄰,則就對應了一個空間四邊形的四個頂點,這與題設條件矛盾).從而,之間的邊數(shù)至多為

.

個頂點之間,由于沒有三角形,由托蘭定理,知至多有條邊.因此,圖G的邊數(shù)為

.

如圖所示給出的圖共有15條邊,且滿足要求.

綜上,所求邊數(shù)的最大值為15.

練習冊系列答案
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【題目】如圖,已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,,,點,分別為的中點.

1)若,求三棱柱的體積;

2)證明:平面

3)請問當為何值時,平面,試證明你的結論.

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【題目】在平面直角坐標系中,已知直線l過點.

1)若直線l的縱截距和橫截距相等,求直線l的方程;

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【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形, ,點E在棱PB上.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)當且E為PB的中點時,求AE與平面PDB所成的角的大小.

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【題目】①若直線與曲線有且只有一個公共點,則直線一定是曲線的切線;

②若直線與曲線相切于點,且直線與曲線除點外再沒有其他的公共點,則在點附近,直線不可能穿過曲線;

③若不存在,則曲線在點處就沒有切線;

④若曲線在點處有切線,則必存在.

則以上論斷正確的個數(shù)是(

A.0B.1C.2D.3

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【題目】如圖,在四棱錐中, , .

(1)證明:平面平面;

(2)若,求二面角的余弦值.

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【題目】為有效預防新冠肺炎對老年人的侵害,某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況.從該社區(qū)全體老年人中,隨機抽取12名進行體質(zhì)健康測試,根據(jù)測試成績(百分制)繪制莖葉圖如下.根據(jù)老年人體質(zhì)健康標準,可知成績不低于80分為優(yōu)良,且體質(zhì)優(yōu)良的老年人感染新冠肺炎的可能性較低.

(Ⅰ)從抽取的12人中隨機選取3人,記表示成績優(yōu)良的人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;

(Ⅱ)將頻率視為概率,根據(jù)用樣本估計總體的思想,在該社區(qū)全體老年人中依次抽取10人,若抽到人的成績是優(yōu)良的可能性最大,求的值.

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【題目】已知函數(shù) ,x R其中a>0.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,0)內(nèi)恰有兩個零點,求a的取值范圍;

(Ⅲ)當a=1時,設函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記 ,求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-4,-1]上的最小值.

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【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).

1)求實數(shù)的值;

2)用定義法討論并證明函數(shù)的單調(diào)性.

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