Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為2.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值;

（Ⅱ）設(shè),討論的單調(diào)性;

（Ⅲ）已知且,證明:

 

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020906025204063402/SYS201502090603002441830944_DA/SYS201502090603002441830944_DA.005.png">圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為2，所以,即可求出m的值；（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020906025204063402/SYS201502090603002441830944_DA/SYS201502090603002441830944_DA.008.png">，所以設(shè)

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，，所以，故在上為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，，

所以，故在上為增函數(shù)；所以在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的；（Ⅲ）利用分析證明法：由已知可知要證，即證即證，即證，即證，又，由（2）知成立，所以.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）所以

由題意,得 3分

（Ⅱ），所以

設(shè)

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，，

所以，故在上為增函數(shù)； 6分

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，，

所以，故在上為增函數(shù)；

所以在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的。 8分

（Ⅲ）由已知可知要證，即證 10分

即證，即證，即證， 12分

又，由（2）知成立，所以。 14分.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用；3.函數(shù)單調(diào)性在不等式證明中的應(yīng)用.