Question

【題目】我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并委托醫(yī)療機構免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行統(tǒng)計，樣本分布被制作成如下圖表：

（1）若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應抽取多少人？

（2）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；

（3）據(jù)統(tǒng)計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發(fā)放生活補貼，標準如下：

①80歲及以上長者每人每月發(fā)放生活補貼200元；

②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補貼120元；

③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補貼100元.

利用樣本估計總體，試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預算.（單位：億元，結果保留兩位小數(shù)）

Answer 1

【答案】(1)80歲及以上應抽取： 人，80歲以下應抽取： 人；(2) ；(3)2.22億元.

【解析】試題分析：（Ⅰ）從圖表中求出不能自理的80歲及以上長者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80歲及以上長者人數(shù)為．
（Ⅱ）求出在600人中80歲及以上長者在老人中占比，用樣本估計總體，能求出80歲及以上長者占戶籍人口的百分比．
（Ⅲ）用樣本估計總體，設任一戶籍老人每月享受的生活補助為X元，則Xr可能取值為0，120，200，220，300，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列、EX，從而能估計政府執(zhí)行此計劃的年度預算．

試題解析：

(1)數(shù)據(jù)整理如下表：

從圖表中知不能自理的歲及以上長者比為：

故抽取人中不能自理的歲及以上長者人數(shù)為

歲以下長者人數(shù)為人

(2)在人中歲及以上長者在老人中占比為：

用樣本估計總體， 歲及以上長者共有萬，

歲及以上長者占戶籍人口的百分比為％=％，

(3)用樣本估計總體，設任一戶籍老人每月享受的生活補助為元，

則隨機變量的分布列為：

全市老人的總預算為元，

政府執(zhí)行此計劃的年度預算約為億元.

求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：

第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；

第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概率公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積，以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；

第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；

第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.