【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合,且拋物線的準(zhǔn)線與橢圓C相交于點(diǎn)
(1)求拋物線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F是否存在直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),且以MN為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰在y軸上?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:由題意知, ,則p=2,

∴拋物線方程為y2=4x


(2)解:設(shè)橢圓方程為 ,

,解得a2=2,b2=1.

∴橢圓C的方程為

若l垂直于x軸,得M(1,﹣ ),N(1, ), ,不符合;

若l不垂直于x軸,

設(shè)正方形第三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2

令l:y=k(x﹣1)(k≠0),代入 ,得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0.

y1+y2=k(x1+x2)﹣2k= ,

則線段MN的中垂線方程為

∴P(0, ).

,得x1x2+(y1﹣y0)(y2﹣y0)=0.

(y0≠0),∴ ,

,∴ ,解得k=

∴直線l的方程為


【解析】(1)由已知求得p,則拋物線方程可求;(2)設(shè)出橢圓方程,由已知列關(guān)于a,b,c的方程組,求得a,b的值,得到橢圓方程,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不合題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)正方形第三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(0,y0),設(shè)出直線方程y=k(x﹣1)(k≠0),聯(lián)立直線方程和橢圓方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合 求得k值.

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社團(tuán)名稱

成員人數(shù)

抽取人數(shù)

話劇社

50

a

創(chuàng)客社

150

b

演講社

100

c


(1)求a,b,c的值;
(2)若從“話劇社”,“創(chuàng)客社”,“演講社”已抽取的6人中任意抽取2人擔(dān)任管理小組組長(zhǎng),求這2人來(lái)自不同社團(tuán)的概率.

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A.4
B.
C.
D.

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