【題目】設(shè)F(0,1),點(diǎn)P在x軸上,點(diǎn)Q在y軸上, =2 , ,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)N的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn),且曲線C在A,B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M,若△MAB的三邊成等差數(shù)列,求此時(shí)點(diǎn)M到直線AB的距離.

【答案】
(1)解:設(shè)N(x,y),

∵點(diǎn)P在x軸上,點(diǎn)Q在y軸上, =2 , ,

∴P( ,0),Q(0,﹣y),

∵F(0,1),∴ =( ,y), =(﹣ ,1),

,∴ =﹣ +y=0,

∴曲線C的方程為x2=4y.


(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l:y=kx+1,

聯(lián)立 ,得x2﹣4kx﹣4=0,

則x1+x2=4k,x1x2=﹣4,

直線MA的方程為 ,直線MB的方程為 ,

聯(lián)立 ,得M(2k,﹣1),

∴點(diǎn)M到直線AB的距離d=2 ,

∵kMAkMB= =﹣1,∴MA⊥MB,

∴|MA|2+|MB|2=|AB|2,①

∵△MAB的三邊成等差數(shù)列,不妨設(shè)|MA|<|MB|,

∴|MA|+|AB|=2|MB|,②

由①②,得|MA|:|MB|:|AB|=3:4:5,

∵SMAB= = |AB|d,∴ = ,

又|AB|=4(k2+1),

= = ,∴ = ,

∴點(diǎn)M到直線AB的距離d=2 =


【解析】(1)設(shè)N(x,y),則P( ,0),Q(0,﹣y),由此根據(jù)題設(shè)條件能求出曲線C的方程.(2)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),直線l:y=kx+1,與橢圓聯(lián)立,得x2﹣4kx﹣4=0,由此利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、等差數(shù)列、勾股定理、橢圓性質(zhì),結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)M到直線AB的距離.

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