【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為 ,(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C.(10分)
(1)寫出C的普通方程;
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣ =0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.
【答案】
(1)
解:∵直線l1的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)),
∴消掉參數(shù)t得:直線l1的普通方程為:y=k(x﹣2)①;
又直線l2的參數(shù)方程為 ,(m為參數(shù)),
同理可得,直線l2的普通方程為:x=﹣2+ky②;
聯(lián)立①②,消去k得:x2﹣y2=4,即C的普通方程為x2﹣y2=4;
(2)
∵l3的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ+sinθ)﹣ =0,
∴其普通方程為:x+y﹣ =0,
聯(lián)立 得: ,
∴ρ2=x2+y2= + =5.
∴l(xiāng)3與C的交點(diǎn)M的極徑為ρ= .
【解析】解:(1.)分別消掉參數(shù)t與m可得直線l1與直線l2的普通方程為y=k(x﹣2)①與x=﹣2+ky②;聯(lián)立①②,消去k可得C的普通方程為x2﹣y2=4;
(2.)將l3的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ+sinθ)﹣ =0化為普通方程:x+y﹣ =0,再與曲線C的方程聯(lián)立,可得 ,即可求得l3與C的交點(diǎn)M的極徑為ρ= .
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用極坐標(biāo)系和直線的參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn);自極點(diǎn)O引一條射線OX叫做極軸;再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系;經(jīng)過點(diǎn),傾斜角為的直線的參數(shù)方程可表示為(為參數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知當(dāng)x<1時(shí),f(x)=(2﹣a)x+1;當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=ax(a>0且a≠1).若對(duì)任意x1≠x2 , 都有 成立,則a的取值范圍是( )
A.(1,2)
B.
C.
D.(0,1)∪(2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天數(shù) | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(Ⅰ)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;
(Ⅱ)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:
①已知集合,則“”是“”的充分不必要條件;
②“”是“”的必要不充分條件;
③“函數(shù)的最小正周期為”是“”的充要條件;
④“平面向量與的夾角是鈍角”的要條件是“”.
其中正確命題的序號(hào)是 .(把所有正確命題的序號(hào)都寫上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天數(shù) | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(12分)
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出Y的所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),得到某河流水位X(單位:米)的頻率分布直方圖如圖:將河流水位在以上6段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)每年河流水位互不影響.
(1)求未來三年,至多有1年河流水位X∈[27,31)的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示);
(2)該河流對(duì)沿河A企業(yè)影響如下:當(dāng)X∈[23,27)時(shí),不會(huì)造成影響;當(dāng)X∈[27,31)時(shí),損失10000元;當(dāng)X∈[31,35)時(shí),損失60000元,為減少損失,現(xiàn)有種應(yīng)對(duì)方案: 方案一:防御35米的最高水位,需要工程費(fèi)用3800元;
方案二:防御不超過31米的水位,需要工程費(fèi)用2000元;
方案三:不采取措施;
試比較哪種方案較好,并請(qǐng)說理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求的解析式;
(2)證明:曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=﹣ n2+kn(其中k∈N+),且Sn的最大值為8.
(1)確定常數(shù)k,求an;
(2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn .
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