已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，B，F(xiàn)分別是它的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)．橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最短距離為2．圓M是過點(diǎn)B，F(xiàn)的所有圓中面積最小的圓．
（1）求橢圓C和圓M的方程；
（2）從圓外一點(diǎn)P引圓M的切線PQ，切點(diǎn)為Q，且有|PQ|=|PO|，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求|PF|的最小值．
分析：（1）直接利用條件得到關(guān)于a，c的方程，解出a，c的值即可求出橢圓C的方程；再利用過B，F(xiàn)的所有圓中，以BF為直徑的圓面積最小，求出對應(yīng)圓M的方程；
（2）先利用條件求得點(diǎn)P在直線x+
3
y=0上，再把|PF|的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F到直線x+
3
y=0的距離即可．
解答：解：（1）依題意有：
c
a
=
1
2
a-c=2.
（2分）
解得a=4，c=2．得b2=12．
所以橢圓C的方程為：
x2
16
+
y2
12
=1．（4分）
B（0，2
3
），F(xiàn)（0，2），過B，F(xiàn)的所有圓中，
以BF為直徑的圓面積最小，
所以圓M的方程為(x-1)2+(y-
3
)2=4．（7分）
（2）設(shè)P（x1，y1），
則|PQ|2=|PM|2-R2=(x1-1)2+(y1-
3
)2-4，|PQ|2=x12+y12．
因?yàn)閨PQ|=|PO|，得x1+
3
y1=0．（10分）
所以點(diǎn)P在直線x+
3
y=0上，
故|PF|的最小值即為點(diǎn)F到直線x+
3
y=0的距離（12分）
故|PF|的最小值
|2
3
|
1+3
=
3
．（14分）
點(diǎn)評：本題是對圓和橢圓的綜合考查．在做這一類型題時(shí)，一定要認(rèn)真讀題，理解題意．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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