Question

已知直線y=-2上有一個動點Q，過Q作直線l垂直于x軸，動點P在直線l上，且⊥，記點P的軌跡為C₁，
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設(shè)直線l與x軸交于點A，且，試判斷直線PB與曲線C₁的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）已知圓C₂：x²+（y-a）²=2，若C₁、C₂在交點處的切線相互垂直，求a的值．

Answer 1

解：（1）設(shè)點P的坐標為（x，y），則Q（x，-2），
∵⊥∴…（2分）
∴x²-2y=0，
當x=0時，P、O、Q三點共線，不符合題意，故x≠0．
∴曲線C的方程為x²=2y（x≠0）．
（2）設(shè)點P的坐標（x₀，y₀），∴A（x₀，0）∵∴
∵∴直線PB的斜率…（5分）
∵x₀²=2y₀∴k=x₀∴直線PB的方程為y=x₀x-y₀…（6分）
代入x²=2y得x²-2x₀x+2y₀=0，∵△=4x₀²-8y₀=0
∴直線PB與曲線C₁相切．…（7分）
（3）不妨設(shè)C₁、C₂的一個交點為N（x₁，y₁），C₁的方程為
則在C₁上N點處切線的斜率為y′=x₁．C₂上過N點的半徑的斜率為
，
又，得y₁=-a，x₁²=-2a…（10分）
∵N（x₁，y₁）在圓C₂上，∴-2a+4a²=2，∴或a=1
∵y₁＞0∴a＜0，∴…（12分）
分析：（1）先設(shè)P點坐標，進而得出Q點坐標，再根據(jù)OP⊥OQ 得到∴，從而得解．
（2）先求直線PB的方程，再代入x²=2y得x²-2x₀x+2y₀=0，利用△=4x₀²-8y₀=0，可得直線PB與曲線C₁相切．
（3）分別求出在C₁上N點處切線的斜率為，C₂上過N點的半徑的斜率，利用C₁、C₂在交點處的切線相互垂直，可建立方程，再利用點在圓上可解，
點評：本題的考點是曲線與方程，主要考查直接法求軌跡方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用直線與方程組成方程組，從而利用方程的思想研究．