Question

已知直線y=-2上有一個動點Q，過點Q作直線l₁垂直于x軸，動點P在l₁上，且滿足OP⊥OQ（O為坐標原點），記點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線l₂是曲線C的一條切線，當點（0，2）到直線l₂的距離最短時，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先設P點坐標，進而得出Q點坐標，再根據(jù)OP⊥OQ?k_OP•k_OQ=-1，求出曲線方程；
（2）設出直線直線l₂的方程，然后與曲線方程聯(lián)立，由于直線l₂與曲線C相切，得出二次函數(shù)有兩個相等實根，求出b=-

k2

2

，再由點到直線距離公式表示出d，根據(jù)a+b≥2

ab

，求得b的值，即可得到直線方程．

解答：解：（1）設點P的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（x，-2）．
∵OP⊥OQ，∴k_OP•k_OQ=-1．
當x≠0時，得

y

x

•

-2

x

=-1，化簡得x²=2y．（2分）
當x=0時，P、O、Q三點共線，不符合題意，故x≠0．
∴曲線C的方程為x²=2y（x≠0）．（4分）
（2）∵直線l₂與曲線C相切，∴直線l₂的斜率存在．
設直線l₂的方程為y=kx+b，（5分）
由

y=kx+b x2=2y

得x²-2kx-2b=0．
∵直線l₂與曲線C相切，
∴△=4k²+8b=0，即b=-

k2

2

．（6分）
點（0，2）到直線l₂的距離d=

|-2+b|

k 2   +1

=

1

2

•

k 2   +4

k 2   +1

（7分）=

1

2

(

k 2   +1

+

3

k 2   +1

)（8分）≥

1

2

×2

k 2   +1 • 3 k 2   +1

（9分）=

3

．（10分）
當且僅當

k 2   +1

=

3

k 2   +1

，即k=±

2

時，等號成立．此時b=-1．（12分）
∴直線l₂的方程為

2

x-y-1=0或

2

x+y+1=0．（14分）

點評：本題考查了拋物線和直線的方程以及二次函數(shù)的根的個數(shù)，對于（2）問關鍵是利用了a+b≥2

ab

，求出b的值．屬于中檔題．