Question

(本小題滿分14分)
在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點(diǎn)，且橢圓的離心率為
（1）求橢圓的方程
（2）是否存在以為直角頂點(diǎn)且內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個(gè)；若不存在，請說明理由

Answer 1

解：（1）由得，                             …1分
又．                                  …2分
故橢圓方程為，
橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則
．                                       …3分
所以                                          … 4分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                          …5分
（2）假設(shè)存在這樣的等腰直角三角形.
明顯直線的斜率存在，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4a/a/s1ybq.gif" style="vertical-align:middle;" />點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程，則直線的方程為．         …6分
由 得

所以，或[
所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為                        …7分
所以．…8分
同理                    …9分[
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7c/c/nnimk.gif" style="vertical-align:middle;" />是等腰直角三角形，所以，即
                              …10分
即
所以，即                    …11分
所以
即
所以，或                                  …12分
所以，或．                                   …13分
所以這樣的直角三角形有三個(gè)．                              …14分

解析