Question

如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形
（I）證明直線BC∥EF；
（II）求棱錐F-OBED的體積．

Answer 1

分析：（I）利用同位角相等，兩直線平行得到OB∥DE；OB=

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DE，得到B是GE的中點(diǎn)；同理C是FG的中點(diǎn)；利用三角形的中位線平行于底邊，得證．
（II）利用三角形的面積公式求出底面分成的兩個(gè)三角形的面積，求出底面的面積；利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)找到高，求出高的值；利用棱錐的體積公式求出四棱錐的體積．

解答：解：（I）證明：設(shè)G是線段DA與線段EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以O(shè)B∥DE，OB=

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DE同理，設(shè)G′是線段DA與線段FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有OG′=OD=2，又由于G與G′都在線段DA的延長(zhǎng)線上，所以G與G′重合，在△GED和△GFD中，由OB∥DE，  OB=

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DE和OC∥DF，OC=

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DF可知B，C分別是GE，GF的中點(diǎn)，所以BC是△GFE的中位線，故BC∥EF
（II）解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知S△BOE =

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而△OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故S△OED=

3

所以SOBED=S△BOE + S△OED=

3 3

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過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AD，交AD于點(diǎn)Q．由平面ABED⊥平面ACFD，F(xiàn)Q就是四棱錐F-OBED的高，且FQ=

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，所以VF-OBED=

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FQ•SOBED=

3

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另外本題還可以用向量法解答，同學(xué)們可參考圖片，自行解一下，解法略．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明兩條直線平行的方法有：同位角相等，兩直線平行、三角形的中位線平行于底邊、考查平面垂直的性質(zhì)定理、棱錐的體積公式．