【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓()的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是、,在橢圓上運(yùn)動(dòng).
(1)若對(duì)有最大值為120°,求出、的關(guān)系式;
(2)若點(diǎn)是在橢圓上位于第一象限的點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線,過作直線的垂線,若直線、的交點(diǎn)在橢圓上,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若設(shè),在(2)成立的條件下,試求出、兩點(diǎn)間距離的函數(shù),并求出的值域.
【答案】(1);(2);(3),的值域?yàn)?/span>.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓定義可知,再利用余弦定理及基本不等式可得的關(guān)系式;
(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),分別求出直線與直線的方程,結(jié)合在橢圓上即可求得點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)把的坐標(biāo)用含有的代數(shù)式表示,由兩點(diǎn)間的距離公式可得兩點(diǎn)間距離的函數(shù),再換元由單調(diào)性求出其值域.
(1) 根據(jù)橢圓的定義可知,,,
因?yàn)?/span>
所以
,即.
(2)設(shè),
當(dāng)時(shí),直線斜率不存在,易知與重合,不滿足題意;
當(dāng)時(shí),則直線的斜率,直線的斜率,
直線的方程,①
直線的斜率,則直線的斜率,
直線的方程,②
聯(lián)立①②,解得:,則,
由在橢圓上,的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)應(yīng)相等,則,
,
則,又在第一象限,的坐標(biāo)為;
(3)若,則,,
則,.
令,則,
,在上為增函數(shù),
的值域?yàn)?/span>,
即的值域?yàn)?/span>.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市政府為減輕汽車尾氣對(duì)大氣的污染,保衛(wèi)藍(lán)天,鼓勵(lì)廣大市民使用電動(dòng)交通工具出行,決定為電動(dòng)車(含電動(dòng)自行車和電動(dòng)汽車)免費(fèi)提供電池檢測(cè)服務(wù).現(xiàn)從全市已掛牌照的電動(dòng)車中隨機(jī)抽取100輛委托專業(yè)機(jī)構(gòu)免費(fèi)為它們進(jìn)行電池性能檢測(cè),電池性能分為需要更換、尚能使用、較好、良好四個(gè)等級(jí),并分成電動(dòng)自行車和電動(dòng)汽車兩個(gè)群體分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì),樣本分布如圖.
(1)采用分層抽樣的方法從電池性能較好的電動(dòng)車中隨機(jī)抽取9輛,再?gòu)倪@9輛中隨機(jī)抽取2輛,求至少有一輛為電動(dòng)汽車的概率;
(2)為進(jìn)一步提高市民對(duì)電動(dòng)車的使用熱情,市政府準(zhǔn)備為電動(dòng)車車主一次性發(fā)放補(bǔ)助,標(biāo)準(zhǔn)如下:①電動(dòng)自行車每輛補(bǔ)助300元;②電動(dòng)汽車每輛補(bǔ)助500元;③對(duì)電池需要更換的電動(dòng)車每輛額外補(bǔ)助400元.試求抽取的100輛電動(dòng)車執(zhí)行此方案的預(yù)算;并利用樣本估計(jì)總體,試估計(jì)市政府執(zhí)行此方案的預(yù)算.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,,,,且的最小值為,的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
(1)求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在中,角所對(duì)的邊分別為,且,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左、右焦點(diǎn)分別為,過任作一條與兩條坐標(biāo)軸都不垂直的直線,與橢圓交于兩點(diǎn),且的周長(zhǎng)為8,當(dāng)直線的斜率為時(shí), 與軸垂直.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在軸上是否存在定點(diǎn),總能使平分?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面四邊形中,,現(xiàn)將沿四邊形的對(duì)角線折起,使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),如圖2,這時(shí)平面平面.
(1)求直線與平面所成角的正切值;
(2)求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,底面為等邊三角形,分別是的中點(diǎn).
(1)證明:平面平面;
(2)如何在上找一點(diǎn),使平面并說明理由;
(3)若,對(duì)于(2)中的點(diǎn),求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=2,AB=2,AD=4,且E、F分別是PB、PC的中點(diǎn)。
(1)求三棱錐的體積;
(2)求直線EC與平面PCD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定數(shù)列,記該數(shù)列前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為,即,該數(shù)列后項(xiàng)中的最小項(xiàng)為,記,;
(1)對(duì)于數(shù)列:3,4,7,1,求出相應(yīng)的,,;
(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和,且對(duì)任意,有,其中為實(shí)數(shù),且,.
(。┰O(shè),證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(ⅱ)若數(shù)列對(duì)應(yīng)的滿足對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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