Question

已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（2，4），且f（x）在[0，4]上的最大值是8，
（1）求f（x）的解析式．
（2）若，當(dāng)關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有且只有一個(gè)根時(shí)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（2，4）
∴可設(shè)f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）
∴f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=3
∴f（x）在[0，4]上的最大值是f（0）
∵f（x）在[0，4]上的最大值是8
∴f（0）=8a=8
∴a=1
∴f（x）=x²-6x+8
（2）方程f（x）=g（x）恒等變形為x³-6x²+9x-k=0（x≠0）
設(shè)F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）
則F′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴當(dāng)x∈（-∞，1）∪（3，+∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0
∴F（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上遞減
∴當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）取得極大值4
當(dāng)x=3時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值0
又∵F（0）=0
∴當(dāng)方程x³-6x²+9x-k=0（x≠0）有且只有一個(gè)根時(shí)k≤0或k＞4
分析：（1）根據(jù)一元二次不等式和一元二次函數(shù)之間的關(guān)系可得2，4是二次函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)故可設(shè)f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）而f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=3∈[0，4]可得出f（x）在[0，4]上的單調(diào)性就可求出f（x）在[0，4]上的最大值然后再結(jié)合條件f（x）在[0，4]上的最大值是8即可求出a的值．
（2）由（1）可得f（x）=g（x）有且只有一個(gè)根即x³-6x²+9x-k=0（x≠0）只有一個(gè)根令F（x）=x³-6x²+9x（x∈R），y=k則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）與y=k
有且只有一個(gè)交點(diǎn)而解決此類問(wèn)題的常用方法是根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）的單調(diào)性再求出其極值就可作出其大致圖象然后移動(dòng)y=k使得函數(shù)F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）與y=k有且只有一個(gè)交點(diǎn)的k的取值范圍即為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了一元二次函數(shù)解析式的求解和利用導(dǎo)數(shù)再結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想解方程．解題的關(guān)鍵是第一問(wèn)需利用一元二次不等式和一元二次函數(shù)之間的關(guān)系可得2，4是二次函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)故可根據(jù)一元二次函數(shù)的兩點(diǎn)式將f（x）設(shè)為f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0），而對(duì)于第二問(wèn)的求解關(guān)鍵是關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有且只有一個(gè)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）與y=k有且只有一個(gè)交點(diǎn)（對(duì)于此類問(wèn)題的求解常借助于導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性然后利用“數(shù)形結(jié)合”的思想求解）！