Question

已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（2，4），且f（x）在[0，4]上的最大值是8，
（1）求f（x）的解析式．
（2）若g(x)=

k

x

-1，當關于x的方程f（x）=g（x）有且只有一個根時，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次不等式和一元二次函數(shù)之間的關系可得2，4是二次函數(shù)f（x）的兩個零點故可設f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）而f（x）圖象的對稱軸為x=3∈[0，4]可得出f（x）在[0，4]上的單調(diào)性就可求出f（x）在[0，4]上的最大值然后再結(jié)合條件f（x）在[0，4]上的最大值是8即可求出a的值．
（2）由（1）可得f（x）=g（x）有且只有一個根即x³-6x²+9x-k=0（x≠0）只有一個根令F（x）=x³-6x²+9x（x∈R），y=k則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）與y=k
有且只有一個交點而解決此類問題的常用方法是根據(jù)導數(shù)判斷出F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）的單調(diào)性再求出其極值就可作出其大致圖象然后移動y=k使得函數(shù)F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）與y=k有且只有一個交點的k的取值范圍即為所求．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（2，4）
∴可設f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）
∴f（x）圖象的對稱軸為x=3
∴f（x）在[0，4]上的最大值是f（0）
∵f（x）在[0，4]上的最大值是8
∴f（0）=8a=8
∴a=1
∴f（x）=x²-6x+8
（2）方程f（x）=g（x）恒等變形為x³-6x²+9x-k=0（x≠0）
設F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）
則F′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴當x∈（-∞，1）∪（3，+∞）時，F(xiàn)'（x）＞0
  當x∈（1，3）時，F(xiàn)′（x）＜0
∴F（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上遞減
∴當x=1時，F(xiàn)（x）取得極大值4
  當x=3時，F(xiàn)（x）取得極小值0      
又∵F（0）=0
∴當方程x³-6x²+9x-k=0（x≠0）有且只有一個根時k≤0或k＞4

點評：本題主要考察了一元二次函數(shù)解析式的求解和利用導數(shù)再結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想解方程．解題的關鍵是第一問需利用一元二次不等式和一元二次函數(shù)之間的關系可得2，4是二次函數(shù)f（x）的兩個零點故可根據(jù)一元二次函數(shù)的兩點式將f（x）設為f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0），而對于第二問的求解關鍵是關于x的方程f（x）=g（x）有且只有一個根轉(zhuǎn)化為函數(shù)F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）與y=k有且只有一個交點（對于此類問題的求解常借助于導數(shù)判斷單調(diào)性然后利用“數(shù)形結(jié)合”的思想求解）！