【題目】已知函數
在
上的最大值為
.
（1）求
的解析式；
（2）討論
的零點的個數.
【答案】（1）
（2）
有且僅有
個零點
【解析】
（1）由
，求導得到
，根據函數
在
上的最大值為
，利用唯一的極值點為最值點求解.
（2）由（1）得到
，求導
，設
，分
，
， 
， 
四種情況用導數法結合零點存在定理求解.
（1）由，得，
令
，得
；令
，得
，
∴的單調遞增區(qū)間是
，單調遞減區(qū)間是
.
故在
處有極大值
，也是的最大值，
所以
，∴
，
故.
（2）∵，
∴，
設，
（i）當時，∴
，所以單調遞減.
又
，
，從而在
上存在唯一零點.也即在
上存在唯一零點.
（ii）當時，
，所以
在
上單調遞減，
因為
，
，
所以存在
，
，且在
上
，在
上
，
所以
為在上的最大值，
又因為，
，
所以在上恒大于零，無零點.
（iii）當時，，所以在
上單調遞減.
，所以在上單調遞增.
又
，
，
所以在上存在唯一零點.
（iiii）當時，
，
設
，
∴
，
所以
在
上單調遞減，所以
，即
.
∴在上單調遞減，
因為，所以在上單調遞增，
因為，，
所以在無零點，
綜上，有且僅有個零點.
智慧小復習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校設計了一個實驗學科的實驗考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成．
（1）求出甲考生正確完成題數的概率分布列，并計算數學期望；
（2）若考生乙每題正確完成的概率都是
，且每題正確完成與否互不影響．試從至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
，橢圓上一點到左焦點的距離的取值范圍為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）
，
，
，
分別與橢圓相切，且
，
，
，如圖，，，，圍成的矩形的面積記為
，求的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在極坐標系
中，
，
，弧
，
，
所在圓的圓心分別為
，
，
，曲線
是弧，曲線
是弧，曲線
是弧．
（1）寫出曲線，，的極坐標方程；
（2）曲線
由，，構成，若曲線
的極坐標方程為
（
，
，
，
），寫出曲線與曲線的所有公共點（除極點外）的極坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四邊形ABCD中，BD為四邊形的一條對角線，且
，將
沿BD向上翻折，當點A在平面BCD內的投影恰好為
的外心E時，設直線AE與平面ABC，ACD，ABD的夾角分別為
，
，
，則（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為
射線
交曲線C于點A,傾斜角為α的直線l過線段OA的中點B且與曲線C交于P、Q兩點.
(1)求曲線C的直角坐標方程及直線l的參數方程;
(2)當直線l傾斜角α為何值時, |BP|·|BQ|取最小值, 并求出|BP|·|BQ|最小值.
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