Question

【題目】如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到拋物線：的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)是上的定點(diǎn)，，是上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上.

（1）求曲線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）記，求弦長(zhǎng)（用表示）；并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）..（2），的最大值為1.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，求出，即可得出拋物線的方程，便得出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）由點(diǎn)，得出，利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，得出直線的方程為，直線方程與拋物線方程聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，通過(guò)基本不等式求得的最大值.

解：（1）的準(zhǔn)線為，

∴，∴，

∴拋物線的方程為.

又點(diǎn)在曲線上，∴.

故.

（2）由（1）知，點(diǎn)，

從而，即點(diǎn)，

依題意，直線的斜率存在，且不為0，

設(shè)直線的斜率為，且，，

由，得，

故，

所以直線的方程為，

即.

由，消去，

整理得，

所以，，.

從而

.

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，

又滿足.

∴的最大值為1.