Question

【題目】已知、是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與交于、

兩點(diǎn)， 與軸交于點(diǎn)， ，且， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求的方程；

（2）設(shè)為橢圓上任一異于頂點(diǎn)的點(diǎn)， 、為的上、下頂點(diǎn)，直線、分別交軸于點(diǎn)、.若直線與過(guò)點(diǎn)、的圓切于點(diǎn).試問(wèn)： 是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）.（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由題可得為正三角形，由此求得，又，可求得， .，得到橢圓的方程；

2）由（1）可知， ，

設(shè)點(diǎn)，表示出的坐標(biāo)，設(shè)圓 的圓心為，設(shè)圓的半徑為，通過(guò)點(diǎn)在圓上，推出．然后求出的表達(dá)式，利用，化簡(jiǎn)即可求出的值

試題解析：（1）由知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，又為等腰三角形

且，得為正三角形，

，

∴， ，

∴.

∵，且

∴， .

橢圓的方程為.

（2）設(shè)，由（1）知， ，

則直線的方程為.

直線的方程為，

∴， ，

設(shè)過(guò)的圓的圓心為

即，則的半徑滿足；

又

∴

∴，即為定長(zhǎng).