Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²，求T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由S_n=n²求得首項(xiàng)，再由當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

由裂項(xiàng)相消法求T_n的通項(xiàng)公式．

解答： 解：由S_n=n²，得a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)上式成立，
∴a_n=2n-1；
∴

1

an-1an

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
則T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(1-

1

2n+3

)=

1

2

•

2n+2

2n+3

=

n+1

2n+3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．