【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),都有成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)試問過點(diǎn)可作多少條直線與曲線相切?并說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析,理由見解析
【解析】
(Ⅰ)首先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分類討論的取值范圍;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),分析的正負(fù)即可求解.
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的導(dǎo)函數(shù)討論是否在區(qū)間內(nèi),利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值,使即可解不等式即可.
(Ⅲ)法一:設(shè)切點(diǎn)為,求出切線方程,從而可得,令,討論的取值范圍,分析函數(shù)的的單調(diào)性以及在上的零點(diǎn)即可求解;
法二:設(shè)切點(diǎn)為,求出切線方程,從而可得,分離參數(shù)可得,令,討論的單調(diào)性求出函數(shù)的值域,根據(jù)值域確定的范圍即可求解.
(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,.
(1)當(dāng)時(shí),恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
(2)當(dāng)時(shí),令,得.
當(dāng)時(shí),,函數(shù)為減函數(shù);
當(dāng)時(shí),,函數(shù)為增函數(shù).
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
(1)當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),
所以在區(qū)間上,,顯然函數(shù)在區(qū)間上恒大于零;
(2)當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
所以.
依題意有,解得,所以.
(3)當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上為減函數(shù),
所以.
依題意有,解得,所以.
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上恒大于零.
另解:當(dāng)時(shí),顯然恒成立.
當(dāng)時(shí),恒成立恒成立的最大值.
令,則,易知在上單調(diào)遞增,
所以最大值為,此時(shí)應(yīng)有.
綜上,的取值范圍是.
(Ⅲ)設(shè)切點(diǎn)為,則切線斜率,
切線方程為.
因?yàn)榍芯過點(diǎn),則.
即.①
令,則.
(1)當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,,單調(diào)遞增;
在區(qū)間上,,單調(diào)遞減,
所以函數(shù)的最大值為.
故方程無解,即不存在滿足①式.
因此當(dāng)時(shí),切線的條數(shù)為0.
(2)當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,,單調(diào)遞減,在區(qū)間上,,單調(diào)遞增,
所以函數(shù)的最小值為.
取,則.
故在上存在唯一零點(diǎn).
取,則.
設(shè),,則.
當(dāng)時(shí),恒成立.
所以在單調(diào)遞增,恒成立.
所以.
故在上存在唯一零點(diǎn).
因此當(dāng)時(shí),過點(diǎn)存在兩條切線.
(3)當(dāng)時(shí),,顯然不存在過點(diǎn)的切線.
綜上所述,當(dāng)時(shí),過點(diǎn)存在兩條切線;
當(dāng)時(shí),不存在過點(diǎn)的切線.
另解:設(shè)切點(diǎn)為,則切線斜率,
切線方程為.
因?yàn)榍芯過點(diǎn),則,
即.
當(dāng)時(shí),無解.
當(dāng)時(shí),,
令,則,
易知當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又,且,
故當(dāng)時(shí)有兩條切線,當(dāng)時(shí)無切線,
即當(dāng)時(shí)有兩條切線,當(dāng)時(shí)無切線.
綜上所述,時(shí)有兩條切線,時(shí)無切線.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)過點(diǎn),傾斜角為的直線l與曲線C相交于M,N兩點(diǎn),求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),則下述結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.若在有且僅有個(gè)零點(diǎn),則在有且僅有個(gè)極小值點(diǎn)
B.若在有且僅有個(gè)零點(diǎn),則在上單調(diào)遞增
C.若在有且僅有個(gè)零點(diǎn),則的范圍是
D.若圖像關(guān)于對稱,且在單調(diào),則的最大值為
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓焦點(diǎn)在軸上,離心率為,上焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線與橢圓交與兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),的面積,則是否為定值,若是求出定值;若不是,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在上的函數(shù),滿足.
(1)證明:2是函數(shù)的周期;
(2)當(dāng)時(shí),,求在時(shí)的解析式,并寫出在()時(shí)的解析式;
(3)對于(2)中的函數(shù),若關(guān)于x的方程恰好有20個(gè)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖是某公司2018年1月至12月空調(diào)銷售任務(wù)及完成情況的氣泡圖,氣泡的大小表示完成率的高低,如10月份銷售任務(wù)是400臺,完成率為90%,則下列敘述不正確的是( )
A. 2018年3月的銷售任務(wù)是400臺
B. 2018年月銷售任務(wù)的平均值不超過600臺
C. 2018年第一季度總銷售量為830臺
D. 2018年月銷售量最大的是6月份
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(a>0且a≠1)是奇函數(shù).
(1)求常數(shù)k的值;
(2)若已知f(1)=,且函數(shù)在區(qū)間[1,+∞])上的最小值為—2,求實(shí)數(shù)m的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正整數(shù)數(shù)列滿足:,
(1)寫出數(shù)列的前5項(xiàng);
(2)將數(shù)列中所有值為1的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)按從小到大的順序依次排列,得到數(shù)列,試用表示(不必證明);
(3)求最小的正整數(shù),使.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列,記,給出下列定義:
①若存在實(shí)數(shù),使成立,則稱數(shù)列為“有上界數(shù)列”;
②若數(shù)列為有上界數(shù)列,且存在,使成立,則稱數(shù)列為“有最大值數(shù)列”;
③若,則稱數(shù)列為“比減小數(shù)列”.
(1)根據(jù)上述定義,判斷數(shù)列是何種數(shù)列?
(2)若數(shù)列中,,,求證:數(shù)列既是有上界數(shù)列又是比減小數(shù)列;
(3)若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,且是有上界數(shù)列,但不是有最大值數(shù)列,求證:,.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com