【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：的焦點為F，過F的直線交拋物線C于A，B兩點．

（1）求線段AF的中點M的軌跡方程；

（2）已知△AOB的面積是△BOF面積的3倍，求直線的方程．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)線段AF的中點的坐標為，，即可求得，將它們代入即可得解。

（2）設(shè)，由△AOB的面積是△BOF面積的3倍可得：直線的斜率存在，且的面積是面積的2倍，即可整理得：，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得：，，結(jié)合即可求得：，問題得解。

（1）設(shè)線段AF的中點的坐標為，

由拋物線的方程可得：焦點

由中點坐標公式可得：

即：

又在拋物線上，所以，

將代入上式可得：

整理得：

所以線段AF的中點M的軌跡方程為：

（2）依據(jù)題意作出圖形，如下：

設(shè)，且與的取值一正、一負

因為△AOB的面積是△BOF面積的3倍，所以直線的斜率存在，

且的面積是面積的2倍，

即：，整理得：

設(shè)直線的方程為：

聯(lián)立直線與拋物線方程可得：，整理得：.

所以，

由解得：.

所以直線的方程為：

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市場研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進的甲公司前期的經(jīng)營狀況，采集相應(yīng)數(shù)據(jù)，對該公司2017年連續(xù)六個月的利潤進行了統(tǒng)計，并繪制了相應(yīng)的折線圖，如圖所示：

（1）折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤（單位：百萬元）與月份代碼之間的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該公司2018年1月份的利潤；

（2）甲公司新研制了一款產(chǎn)品，需要采購一批新型材料，現(xiàn)有采購成本分別為10萬元包和12萬元包的、兩種型號的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個月，不同類型的新型材料損壞的時間各不相同，已知生產(chǎn)新型材料的企業(yè)乙對、兩種型號各100件新型材料進行過科學模擬測試，得到兩種新型材料使用壽命頻數(shù)統(tǒng)計如表：

使用壽命

材料類型

1個月

2個月

3個月

4個月

總計

20

35

35

10

100

10

30

40

20

100

經(jīng)甲公司測算，平均每包新型材料每月可以帶來5萬元收入，不考慮除采購成本之外的其他成本，假設(shè)每包新型材料的使用壽命都是整數(shù)月，且以頻率作為每包新型材料使用壽命的概率，如果你是甲公司的負責人，以每包新型材料產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款新型材料？

參考數(shù)據(jù)：，．

參考公式：回歸直線方程為，其中．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C：x2＝6y與直線l：y＝kx+3交于M，N兩點．

（1）設(shè)M，N到y(tǒng)軸的距離分別為d1，d2，證明：d1d2為定值．

（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM＝∠OPN？若存在，求以線段OP為直徑的圓的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】京劇是我國的國粹，是“國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”，為紀念著名京劇表演藝術(shù)家，京劇藝術(shù)大師梅蘭芳先生，某電視臺《我愛京劇》的一期比賽中，2位“梅派”傳人和4位京劇票友（資深業(yè)余愛好者）在幕后登臺演唱同一曲目《貴妃醉酒》選段，假設(shè)6位演員的演唱水平相當，由現(xiàn)場40位大眾評委和“梅派”傳人的朋友猜測哪兩位是真正的“梅派”傳人.

（1）此欄目編導(dǎo)對本期的40位大眾評委的年齡和對京劇知識的了解進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到的數(shù)據(jù)如下：

京劇票友

一般愛好者

合計

50歲以上

15

10

25

50歲以下

3

12

15

合計

18

22

40

試問：在犯錯誤的概率不超過多少的前提下，可以認為年齡的大小與對京劇知識的了解有關(guān)系？

（2）若在一輪中演唱中，每猜出一位亮相一位，且規(guī)定猜出2位“梅派”傳人”或猜出5人后就終止，記本輪競猜一共競猜次，求隨機變量的分布列與期望.

參考數(shù)據(jù)：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：

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【題目】已知橢圓的左、右焦點為，左右兩頂點，點為橢圓上任意一點，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線與軸的交點為，過點的直線與橢圓相交與兩點，連接點并延長，交軌跡于一點.求證：.

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【題目】圖1是由正方形，直角梯形，三角形組成的一個平面圖形，其中，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.

（1）證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；

（2）求圖2中的點到平面的距離.

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【題目】已知矩陣，，直線經(jīng)矩陣所對應(yīng)的變換得到直線，直線又經(jīng)矩陣所對應(yīng)的變換得到直線，求直線的方程．

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【題目】某保險公司對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）：

已知三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元.

（1）求保險公司在該業(yè)務(wù)所或利潤的期望值；

（2）現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：

方案1：企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元；

方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負責職工保費的70%，職工個人負責保費的30%，出險后賠償金由保險公司賠付，企業(yè)無額外專項開支.

請根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點A（0，2），動點M到點A的距離比動點M到直線y＝﹣1的距離大1，動點M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程；

（2）Q為直線y＝﹣1上的動點，過Q做曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值

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