Question

（1）求經(jīng)過點(diǎn)A（5，2），B（3，2），圓心在直線2x-y-3=0上圓方程；

   （2）設(shè)圓上的點(diǎn)A（2，3）關(guān)于直線x+2y=0的對稱點(diǎn)仍在這個(gè)圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長為，求圓方程。

Answer 1

命題意圖本題主要考查圓的方程的表達(dá)形式及對稱性的問題，可利用數(shù)形結(jié)合法，利用圓中“半徑、半弦、弦心距”構(gòu)成直角三角形可解.

知識依托  圓的方程，對稱性，勾股定理

錯(cuò)解分析 題中沒有注意到圓的對稱只是改變圓的位置，圓的大小并不改變，不能選取特殊點(diǎn)來進(jìn)行解題。

技巧與方法 先選準(zhǔn)圓的方程的形式，利用數(shù)形結(jié)合，并能選特殊點(diǎn)進(jìn)行對稱

解：（1）法一：從數(shù)的角度

若選用標(biāo)準(zhǔn)式：設(shè)圓心P（x，y），則由|PA|=|PB|得：(x₀-5)²+(y₀-2)²=(x₀-3)²+(y₀-2)² 又2x₀-y₀-3=0

兩方程聯(lián)立得：，|PA|=   ∴ 圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)²+(y-5)²=10

若選用一般式：設(shè)圓方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，則圓心（）

∴     解之得：

法二：從形的角度

AB為圓的弦，由平幾知識知，圓心P應(yīng)在AB中垂線x=4上，則由得圓心P（4，5）

∴ 半徑r=|PA|=    顯然，充分利用平幾知識明顯降低了計(jì)算量

（2）    設(shè)A關(guān)于直線x+2y=0的對稱點(diǎn)為A’

由已知AA’為圓的弦   ∴ AA’對稱軸x+2y=0過圓心

設(shè)圓心P（-2a，a），半徑為R    ，則R=|PA|=(-2a-2)²+(a-3)²

又弦長，   ∴

∴ 4(a+1)²+(a-3)²=2+   ∴ a=-7或a=-3

當(dāng)a=-7時(shí)，R=；當(dāng)a=-3時(shí)，R= ∴ 所求圓方程為(x-6)²+(y+3)²=52或(x-14)²+(y+7)²=244