Question

【題目】如圖，橢圓E： 的左焦點(diǎn)為F1 ， 右焦點(diǎn)為F2 ， 離心率e= ．過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8．
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q．試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8．
∴4a=8，∴a=2
∵e= ，∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴橢圓E的方程為 ．
（Ⅱ）由 ，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x0 ， y0）
∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此時(shí)x0= = ，y0= ，即P（ ， ）
由 得Q（4，4k+m）
取k=0，m= ，此時(shí)P（0， ），Q（4， ），以PQ為直徑的圓為（x﹣2）2+（y﹣ ）2=4，交x軸于點(diǎn)M1（1，0）或M2（3，0）
取k= ，m=2，此時(shí)P（1， ），Q（4，0），以PQ為直徑的圓為（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ，交x軸于點(diǎn)M3（1，0）或M4（4，0）
故若滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M（1，0），證明如下
∵
∴
故以PQ為直徑的圓恒過x軸上的定點(diǎn)M（1，0）
方法二：
假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，因?yàn)閷?duì)于任意以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M，所以當(dāng)PQ平行于x軸時(shí)，圓也過定點(diǎn)M，即此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ）或（0，﹣ ），由圖形對(duì)稱性知兩個(gè)圓在x軸上過相同的交點(diǎn)，即點(diǎn)M必在x軸上．設(shè)M（x1 ， 0），則 =0對(duì)滿足①式的m，k恒成立．
因?yàn)? =（﹣ ﹣x1 ， ），
=（4﹣x1 ， 4k+m），由 =0得﹣ + ﹣4x1+x12+ +3=0，
整理得（4x1﹣4） +x12﹣4x1+3=0．②
由于②式對(duì)滿足①式的m，k恒成立，所以 ，解得x1=1．
故存在定點(diǎn)M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M
【解析】（Ⅰ）根據(jù)過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8，可得4a=8，即a=2，利用e= ，b2=a2﹣c2=3，即可求得橢圓E的方程．（Ⅱ）由 ，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x0 ， y0），可得m≠0，△=0，進(jìn)而可得P（ ， ），由 得Q（4，4k+m），取k=0，m= ；k= ，m=2，猜想滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M（1，0），再進(jìn)行證明即可．