【題目】某廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量,從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取各10件,測(cè)量產(chǎn)品中某種元素的含量(單位:毫克).如圖是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖:
規(guī)定:當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素含量滿足≥18毫克時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品.

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),計(jì)算甲、乙兩條生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量的均值與方差,并說(shuō)明哪條生產(chǎn)線的產(chǎn)品的質(zhì)量相對(duì)穩(wěn)定;
(2)從乙廠抽出的上述10件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取3件,求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ).

【答案】
(1)解:設(shè)甲、乙兩個(gè)車(chē)間產(chǎn)品某種元素含量的均值分別為 、 ,方差分別為 、 ,

= ,

=

= [(9﹣18)2+(13﹣18)2+(19﹣18)2+(16﹣18)2+(15﹣18)2+(18﹣18)2+(21﹣18)2+(25﹣18)2+(21﹣18)2+(23﹣18)2]=14,

= [(18﹣18)2+(16﹣18)2+(17﹣18)2+(16﹣18)2+(19﹣18)2+(12﹣18)2+(15﹣18)2+(22﹣18)2+(21﹣18)2+(24﹣18)2]=11.6,

= , ,∴乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品的質(zhì)量相對(duì)穩(wěn)定.


(2)解:由樣本數(shù)據(jù)可知,乙廠10件產(chǎn)品中有5件是優(yōu)等品,

∴ξ的取值為0,1,2,3.

,

,

,

,

∴ξ的分布列為:

ξ

0

1

2

3

P

故ξ的數(shù)學(xué)期望為


【解析】(1)分別求出甲、乙兩個(gè)車(chē)間產(chǎn)品某種元素含量的均值 、 ,方差 、 ,由 = ,知乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品的質(zhì)量相對(duì)穩(wěn)定.(2)由樣本數(shù)據(jù)可知,乙廠10件產(chǎn)品中有5件是優(yōu)等品,ξ的取值為0,1,2,3.分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【考點(diǎn)精析】掌握莖葉圖是解答本題的根本,需要知道莖葉圖又稱“枝葉圖”,它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較,將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干(莖),將變化大的位的數(shù)作為分枝(葉),列在主干的后面,這樣就可以清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù),每個(gè)數(shù)具體是多少.

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