(2013•北京)已知A,B,C是橢圓W:
x24
+y2=1
上的三個點,O是坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)當(dāng)點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;
(Ⅱ)當(dāng)點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.
分析:(I)根據(jù)B的坐標(biāo)為(2,0)且AC是OB的垂直平分線,結(jié)合橢圓方程算出A、C兩點的坐標(biāo),從而得到線段AC的長等于
3
.再結(jié)合OB的長為2并利用菱形的面積公式,即可算出此時菱形OABC的面積;
(II)若四邊形OABC為菱形,根據(jù)|OA|=|OC|與橢圓的方程聯(lián)解,算出A、C的橫坐標(biāo)滿足
3x2
4
=r2-1,從而得到A、C的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù).再分兩種情況加以討論,即可得到當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能為菱形.
解答:解:(I)∵四邊形OABC為菱形,B是橢圓的右頂點(2,0)
∴直線AC是BD的垂直平分線,可得AC方程為x=1
設(shè)A(1,t),得
12
4
+t2=1
,解之得t=
3
2
(舍負(fù))
∴A的坐標(biāo)為(1,
3
2
),同理可得C的坐標(biāo)為(1,-
3
2

因此,|AC|=
3
,可得菱形OABC的面積為S=
1
2
|AC|•|B0|=
3
;
(II)∵四邊形OABC為菱形,∴|OA|=|OC|,
設(shè)|OA|=|OC|=r(r>1),得A、C兩點是圓x2+y2=r2
與橢圓W:
x2
4
+y2=1
的公共點,解之得
3x2
4
=r2-1
設(shè)A、C兩點橫坐標(biāo)分別為x1、x2,可得A、C兩點的橫坐標(biāo)滿足
x1=x2=
2
3
3
r2-1
,或x1=
2
3
3
r2-1
且x2=-
2
3
3
r2-1
,
①當(dāng)x1=x2=
2
3
3
r2-1
時,可得若四邊形OABC為菱形,則B點必定是右頂點(2,0);
②若x1=
2
3
3
r2-1
且x2=-
2
3
3
r2-1
,則x1+x2=0,
可得AC的中點必定是原點O,因此A、O、C共線,可得不存在滿足條件的菱形OABC
綜上所述,可得當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能為菱形.
點評:本題給出橢圓方程,探討了以坐標(biāo)原點O為一個頂點,其它三個頂點在橢圓上的菱形問題,著重考查了菱形的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識,屬于中檔題.
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2
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2
2
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AP
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AC
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3
3

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(Ⅲ)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),則{an}的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.

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