Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d （a≠0）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時，f（x）取得極值-2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值．
（3）證明：對任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）是R上的奇函數(shù)得f（-x）=-f（x），由此得到d=0，再由當(dāng)x=1時，f（x）取得極值-2，得到

f(1)=-2 f′(1)=0

，解方程組求得a，c的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）把（1）中所求解析式求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)零點對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，繼而求得極大值；
（3）由（2）中求得的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，求出最大值為2和最小值-2，從而得到對任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d，
∴d=-d，即d=0 （或由f（0）=0得d=0），
∴f（x）=ax³+cx，
則f′（x）=3ax²+c，又當(dāng)x=1時，f（x）取得極值-2，
∴

f(1)=-2 f′(1)=0

，即

a+c=-2 3a+c=0

，解得

a=1 c=-3

．
∴f（x）=x³-3x；
（2）解：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=±1．
當(dāng)-1＜x＜1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＜-1或x＞1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）；
遞減區(qū)間為（-1，1）．
因此，f（x）在x=-1處取得極大值，且極大值為f（-1）=2；
（3）證明：由（2）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
且f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為M=f（-1）=2．最小值為m=f（1）=-2．
∴對任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=4成立． 
即對任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，對于（3）的證明，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．