設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=
1
4
an2+
1
2
an-
3
4
,n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在等比數(shù)列{bn},使a1b1+a2b2+…anbn=(2n-1)•2n+1+2對(duì)一切正整數(shù)都成立?并證明你的結(jié)論.
分析:(1)由 Sn=
1
4
an2+
1
2
an -
3
4
,得:Sn+1
1
4
an+12+
1
2
an+1-
3
4
,所以(an+1+an)•(an+1-an-2)=0,由an+1+an>0,知an+1=an+2,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)由
a1b1=6
a1b1+a2b2=26 
,得:b1=2,b2=4.猜想:bn=2n,使a1b1+a2b2+…anbn=(2n-1)•2n+1+2對(duì)一切正整數(shù)都成立.然后再由錯(cuò)位相減法進(jìn)行證明.
解答:解:(1)由 Sn=
1
4
an2+
1
2
an -
3
4

得:Sn+1
1
4
an+12+
1
2
an+1-
3
4

Sn+1Sn
1
4
an+12+
1
2
an+1
1
4
an2-
1
2
an

整理得:(an+1+an)•(an+1-an-2)=0,
∵an+1+an>0,
∴an+1-an-2=0,即an+1=an+2,
∴{an}是等差數(shù)列.
a1=S1=
1
4
a12+
1
2
a1
3
4
>0
,
∴a1=3.
∴an=2n+1,n∈N*
(2)由
a1b1=6
a1b1+a2b2=26 

解得:b1=2,b2=4.
猜想:bn=2n,使a1b1+a2b2+…anbn=(2n-1)•2n+1+2對(duì)一切正整數(shù)都成立.
下面證明猜想成立:
即證3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)•2n=(2n-1)•2n+1+2對(duì)一切正整數(shù)都成立,
令Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n,
則2Tn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1
兩式相減得:Tn=(2n+1)•2n+1-2•2n+1+2
=(2n-1)•2n+1+2,
故原命題獲證.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列求和的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),難度大,計(jì)算繁瑣,容易出錯(cuò).解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意培養(yǎng)計(jì)算能力,注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(
x
+
2
)2(x>0)
,設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2,前n 項(xiàng)和Sn滿足Sn=f(Sn-1)(n>1,且n∈N*).
(1)求an的表達(dá)式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),直線ln的斜率為an,且ln與曲線y=x2相切,ln又與y軸交于點(diǎn)Dn(0,bn),當(dāng)n∈N*時(shí),記dn=
1
4
|
Dn+1Dn
|-1
,若Cn=
d
2
n+1
+
d
2
n
2dn+1dn
,求數(shù)列cn的前n 項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和是Sn,若{an}和{
Sn
}都是等差數(shù)列,且公差相等,求:
(1){an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a1,a2,a5恰為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng),記數(shù)列cn=cn=
24bn
(12bn-1)2
,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:對(duì)任意n∈N*,都有Tn<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn,q為非零常數(shù).已知對(duì)任意正整數(shù)n,m,當(dāng)n>m時(shí),Sn-Sm=qm•Sn-m總成立.
(1)求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列; 
(2)若正整數(shù)n,m,k成等差數(shù)列,求證:
1
Sn
+
1
Sk
2
Sm

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=
2an2+3an+m
an+1
(n∈N*)
,①若恒有an+1≥an,求m的取值范圍.②在-3≤m<1時(shí),證明:
1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
an+1
≥1-
1
2n

(2)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an滿足條件:(ann+nan-1=0(n∈N*),求證:0<an
1
2

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