Question

已知關(guān)于x的函數(shù)

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)a取值范圍.

 

Answer 1

（1）函數(shù)的極小值為；（2）.

【解析】

試題分析：（1），當(dāng) 時，

可利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性并求得極值；

（2）要使函數(shù)沒有零點，可借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，參數(shù)的值要確保在定義域內(nèi)恒正（或恒負(fù)），即函數(shù)的最小值為正，或最大值為負(fù)，并由此求出的取值范圍.

試題解析：

【解析】
（1），. 2分

當(dāng)時，,的情況如下表：

 

		2
		0
	↘	極小值	↗

所以，當(dāng)時，函數(shù)的極小值為. 6分

（2）. 7分

當(dāng)時，的情況如下表：

 

		2
		0
	↘	極小值	↗

因為F(1)=1＞0, 8分

若使函數(shù)F(x)沒有零點，需且僅需，解得, 9分

所以此時；10分

當(dāng)時，的情況如下表：

		2
		0
	↗	極大值	↘

因為,且，

所以此時函數(shù)總存在零點. 12分

（或：當(dāng)時，

當(dāng)時，令即

由于令

得，即時，即時存在零點.）

綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是.13分

考點：1、導(dǎo)數(shù)的求法；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值；3、分類討論的思想.