Question

空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x，y，z）是以原點(diǎn)為球心，1為半徑的球面上任意一點(diǎn)，則x+y+

2

z的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：首先分析題目可得x²+y²+z²=1，求x+y+

2

z的最大值，可以聯(lián)想到柯西不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²的應(yīng)用，構(gòu)造出柯西不等式即可得到答案．

解答：解：由已知x，y，z∈R，x²+y²+z²=1，
和柯西不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²
則構(gòu)造出（1²+1²+

2

²）（x²+y²+z²）≥（x+y+

2

z）²．
即：（x+y+

2

z）²≤4
即：x+y+

2

z的最大值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評：此題主要考查柯西不等式的應(yīng)用問題，對于不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²應(yīng)用廣泛，需要同學(xué)們理解記憶．