Question

已知橢圓┍的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，b）．
（1）若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A（0，-b），B（a，0）滿足

PM

=

1

2

（

PA

+

PB

），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l₁：y=k₁x+p交橢圓┍于C、D兩點(diǎn)，交直線l₂：y=k₂x于點(diǎn)E．若k₁•k₂=-

b2

a2

，證明：E為CD的中點(diǎn)；
（3）對(duì)于橢圓┍上的點(diǎn)Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓┍上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)P₁、P₂滿足

PP1

+

PP2

=

PQ

，寫出求作點(diǎn)P₁、P₂的步驟，并求出使P₁、P₂存在的θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y） 根據(jù)

PM

=

1

2

（

PA

+

PB

）分別用三點(diǎn)的坐標(biāo)表示出三個(gè)向量，進(jìn)而解得x和y，則M點(diǎn)坐標(biāo)可得．
（2）直線l₁與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式求得，a²k₁²+b²-p²＞0，設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），利用韋達(dá)定理可求得x₁+x₂的表達(dá)式，進(jìn)而求得x₀，代入直線方程求得y₀，兩直線方程聯(lián)立根據(jù)直線l₂的斜率求得x=x₀，y=y₀
進(jìn)而判斷出E為CD的中點(diǎn)；
（3）先求出PQ的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線OE的斜率，再由

PP1

+

PP2

=

PQ

，知E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)（2）可得CD的斜率，直線CD與橢圓Γ的方程聯(lián)立，方程組的解即為點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)．欲使P1、P2存在，必須點(diǎn)E在橢圓內(nèi)，進(jìn)而求得q的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y）
∵

PM

=

1

2

（

PA

+

PB

），
∴2（x+a，y-b）=（a，-2b）+（2a，-b）
∴

2(x+a)=3a 2(y-b)=-3b

，
解得x=

a

2

y=-

b

2

M點(diǎn)坐標(biāo)為（

a

2

，-

b

2

）
（2）由方程組

y=k1x+p x2 a2 +  y2 b2 =1

，消y得方程（a²k_′1+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，
因?yàn)橹本�l₁：y=k₁x+p交橢圓于C、D兩點(diǎn)，所以△＞0，即a²k₁²+b²-p²＞0，
設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則x₀=

x1+x2

2

=-

a2k1p

a2 k 2 1 +b2

，y₀=k₁x₀+p=

b2p

a2 k 2 1 +b2

，由方程組

y=k1x+p y=k2x

，消y得方程（k₂-k₁）x=p，
又因?yàn)閗₂=-

b2

a2k1

，所以x=

p

k2-k1

=x₀，y=k₂x=y₀
故E為CD的中點(diǎn)；
（3）求作點(diǎn)P₁、P₂的步驟：
1°求出PQ的中點(diǎn)E（-

a(1-cosθ)

2

，

b(1+sinθ)

2

），
2°求出直線OE的斜率k₂=

b(1+sinθ) 2

a(1-cosθ) 2

=

b(1+sinθ)

a(1-cosθ)

，
3°由

PP1

+

PP2

=

PQ

，知E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)（2）可得CD的斜率k₁=

b(1-cosθ)

a(1+sinθ)

，
4°從而得直線P₁P₂的方程：y-

b(1+sinθ)

2

=

b(1-cosθ)

a(1+sinθ)

（x+

a(1-cosθ)

2

），
5°將直線CD與橢圓Γ的方程聯(lián)立，方程組的解即為點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)．
欲使P₁、P₂存在，必須點(diǎn)E在橢圓內(nèi)，
所以

(1-cosθ)2

4

+

(1+sinθ)2

4

＜1，化簡(jiǎn)得sinθ-cosθ＜

1

2

，∴sin（θ-

π

4

）＜

2

4

，
又0＜q＜p，所以-

π

4

＜θ-

π

4

＜arcsin

2

4

，
故q的取值范圍是（0，

π

4

+arcsin

2

4

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的前提是要求學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有相當(dāng)熟練的把握．