直線AB過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)9,并與其相交于A、B兩點(diǎn),Q是線段AB的中點(diǎn),M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求證的取值范圍;

(2)過A、B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線,兩切線相交于N點(diǎn),

求證:;

(3)設(shè)直線AB與x軸、y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為K和L,當(dāng)=4p2,△ABN的面積的取值范圍限定為[]時(shí),求動線段KL的軌跡所形成的平面區(qū)域的面積.

解:由(1)條件M(0,-),F(0,),設(shè)直線AB的方程為

y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2)則=2py1,=2py2,Q().

消去y并整理得x2-2pkx-p2=0.

根據(jù)韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=-p2.

進(jìn)而有y1y2=,

y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p.

=(x1,y1+)·(x2,y2+)

=x1x2+y1y2+(y1+y2)+

=-p2++(2pk2+p)+

=p2k2≥0.

的取值范圍是.

(2)拋物線的方程可化為y=x2,求導(dǎo)得.

從而kNA=.

∴切線NA的方程為y-(x-x1),

即y=,

切線NB的方程為y-(x-x2),即y=.

∴N(),

而x1+x2=2pk,x1x2=-p2,

∴N(pk,-).

而M(0,-),Q()即(pk,pk2+).

=(pk,0),=(0,pk2+p),

=(0,),∴=0,.

(3)由于=4p2,而根據(jù)(1)知=p2k2,

∴4p2=p2k2,又p>0,∴k2=4,k=±2.

由于=(-pk,p),

=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,)

=(x2-x1)(1,)=(x2-x1)(1,k),

=(-pk,p)·(x2-x1)(1,k)

=(x2-x1)(-pk+pk)=0.

從而,又=

||=y1+y2+p=2pk2+2p=2p(k2+1)=10p.

∴SΔABN==.

而SΔABN的取值范圍是[5],

.

而p>0,所以1≤p≤2.

由(1)知直線AB的方程為y=kx+,

即有y=±2x+,1≤p≤2.

所以直線AB在x、y軸上的截距有

當(dāng)k=-2,p=1時(shí),為;

當(dāng)k=-2,p=2時(shí),為和1;

當(dāng)k=2,p=1時(shí),為-;

當(dāng)k=2,p=2時(shí),為-和1.

從而動線段KL的軌跡所形成的平面區(qū)域如圖所示,其面積為S=S

=

=.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線AB過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F,并與其相交于A、B兩點(diǎn),Q是線段AB的中點(diǎn),M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求
MA
MB
的取值范圍;
(Ⅱ)過A、B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線,兩切線相交于N點(diǎn),求證:
MN
OF
=0,
NQ
OF
;
(Ⅲ)若p是不為1的正整數(shù),當(dāng)
MA
MB
=4P2,△ABN的面積的取值范圍為[5
5
,20
5
]時(shí),求該拋物線的方程.

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   (Ⅰ)求的取值范圍;

   (Ⅱ)過A、B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線,兩切線相交于N點(diǎn).

        求證:;

   (Ⅲ)若p是不為1的正整數(shù),當(dāng),△ABN的面積的取值范圍為[5,20]時(shí),求該拋物線的方程.

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直線AB過拋物線x2=2pyp>0)的焦點(diǎn)F,并與其相交于A、B兩點(diǎn),Q是線段AB的中點(diǎn),M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).

   (Ⅰ)求的取值范圍;

   (Ⅱ)過A、B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線,兩切線相交于N點(diǎn).

        求證:

   (Ⅲ)若p是不為1的正整數(shù),當(dāng),△ABN的面積的取值范圍為[5,20]時(shí),求該拋物線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年廣東省高考數(shù)學(xué)第三輪復(fù)習(xí)精編模擬試卷08(理科)(解析版) 題型:解答題

直線AB過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F,并與其相交于A、B兩點(diǎn),Q是線段AB的中點(diǎn),M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)過A、B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線,兩切線相交于N點(diǎn),求證:=0,;
(Ⅲ)若p是不為1的正整數(shù),當(dāng)=4P2,△ABN的面積的取值范圍為[5,20]時(shí),求該拋物線的方程.

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