設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn),若在橢圓上存在點(diǎn)P滿足F1PF2=
π
3
,且|OP|=
3
2
a
,則該橢圓的離心率為
1
2
1
2
分析:由于
PO
=
1
2
PF1
+
PF2
),兩邊平方,再利用余弦定理即可求得該橢圓的離心率.
解答:解:令|
PF1
|=m,|
PF2
|=n,m+n=2a.
PO
=
1
2
PF1
+
PF2
),|
PO
|
=
3
2
a,
PO
2
=
1
4
PF1
2
+2
PF1
PF2
+
PF2
2

3
4
a2=
1
4
(m2+2mncos
π
3
+n2),
∴3a2=m2+n2+mn=(m+n)2-mn=4a2-mn,
∴a2=mn.
在△PF1F2中,由余弦定理得:|F1F2|2=m2+n2-2mn×
1
2
=(m+n)2-3mn,
即4c2=4a2-3mn=4a2-3a2=a2,
∴e=
c
a
=
1
2

故答案為:
1
2
點(diǎn)評:本題考查向量的數(shù)量積與余弦定理的綜合應(yīng)用,考查方程思想與運(yùn)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的焦點(diǎn),若在雙曲線上存在點(diǎn)P,滿足F1PF2=60°,|OP|=
10
a
,則該雙曲線的漸近線方程為( 。
A、
3
y=0
B、
3
x±y=0
C、
2
y=0
D、
2
x±y=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的焦點(diǎn),若在橢圓上存在點(diǎn)P,滿足∠F1PF2=60°,|OP|=
3
2
a
,則該橢圓的離心率為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn),若在雙曲線上存在點(diǎn)P,滿足∠F1PF2=60°,|OP|=
7
2
a,則該雙曲線的離心率為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn),若在雙曲線上存在點(diǎn)P,滿足∠F1PF2=30°,|OP|=
7
a,則該雙曲線的漸近線方程為?

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