設(shè)函數(shù)f(x)=
mx+2
x-1
的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱.
(1)求m的值;
(2)若直線y=a(a∈R)與f(x)的圖象無公共點(diǎn),且f(|t-2|+
3
2
)<2a+f(4a),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)在函數(shù)f(x)圖象上取一點(diǎn)(0,-2),此點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,1)的對稱點(diǎn)(2,4)在函數(shù)f(x)的圖象上,由此求得m的值.
(2)由(1)可得f(x)=1+
3
x-1
,故 f(x) 的值域?yàn)閧y|y≠1},a=1.不等式即 f(|t-2|+
3
2
)<2+f(4)=4,整理可得|t-2|>
1
2
,由此求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解答:解:(1)在函數(shù)f(x)=
mx+2
x-1
的圖象上取一點(diǎn)(0,-2),此點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,1)的對稱點(diǎn)為(2,4),
由題意可得,點(diǎn)(2,4)在函數(shù)f(x)=
mx+2
x-1
的圖象上,∴4=
2m+2
2-1
,解得 m=1.
(2)由(1)可得f(x)=
x+2
x-1
=1+
3
x-1
,∴f(x) 的值域?yàn)閧y|y≠1}.
當(dāng)直線y=a(a∈R)與f(x)的圖象無公共點(diǎn),a=1,不等式即 f(|t-2|+
3
2
)<2+f(4)=4,
∴1+
3
|t-2|+
1
2
<4,整理可得|t-2|>
1
2
,解得:t>
5
2
,或 t<
3
2

即實(shí)數(shù)t的取值范圍為(
5
2
,+∞)∪(-∞,
3
2
 ).
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)的圖象,分式不等式的解法,體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

4、設(shè)函數(shù)f(x)=x2+mx(x∈R),則下列命題中的真命題是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cosωx,sinωx),其中a2+b2≠0且ω>0.設(shè)f(x)=
OA
OB

(1)若a=
3
,b=1,ω=2,求方程f(x)=1在區(qū)間[0,2π]內(nèi)的解集;
(2)若點(diǎn)A是過點(diǎn)(-1,1)且法向量為
n
=(-1,1)
的直線l上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)x∈R時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)的值域?yàn)榧螹,不等式x2+mx<0的解集為集合P.若P⊆M恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;
(3)根據(jù)本題條件我們可以知道,函數(shù)f(x)的性質(zhì)取決于變量a、b和ω的值.當(dāng)x∈R時(shí),試寫出一個(gè)條件,使得函數(shù)f(x)滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
3
,0)
對稱,且在x=
π
6
處f(x)取得最小值”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(選修4-5:不等式選講)
設(shè)函數(shù)f(x)=mx-2+|2x-1|.
(1)若m=2,解不等式f(x)≤3;
(2)若函數(shù)f(x)有最小值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.
(1)若對于一切實(shí)數(shù)x,f(x)<0恒成立,求m的取值范圍;
(2)對于x∈[1,3],f(x)>-m+x-1恒成立,求m的取值范圍.

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