Question

（選修4-5：不等式選講）
設(shè)函數(shù)f（x）=mx-2+|2x-1|．
（1）若m=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若函數(shù)f（x）有最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）m=2時(shí)，f（x）=2x-2+|2x-1|，分當(dāng)x≥

1

2

時(shí)和當(dāng)x＜

1

2

時(shí)兩種情況，去掉絕對(duì)值，
求得原不等式的解集．
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的解析式，分x＜

1

2

、x≥

1

2

兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)有最小值，
可得 

m+2≥0 m-2≤0

，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）m=2時(shí)，f（x）=2x-2+|2x-1|，
當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，f（x）≤3可化為2x-2+2x-1≤3，解之得

1

2

≤x≤

3

2

；
當(dāng)x＜

1

2

時(shí)，f（x）≤3可化為2x-2+1-2x≤3，解之得x＜

1

2

．
綜上可得，原不等式的解集為{x|x≤

3

2

}．
（Ⅱ）f（x）=mx-2+|2x-1|=

(m+2)x-3 ，x≥ 1 2 (m-2)x-1 ，x＜ 1 2

．
若函數(shù)f（x）有最小值，
則當(dāng)x＜

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）遞減，當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）遞增，
∴

m+2≥0 m-2≤0

，即-2≤m≤2，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的最值的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．