Question

（2010•廣東模擬）已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上頂點為A（0，1），過C₁的焦點且垂直長軸的弦長軸的弦長為1．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)圓O：x2+y2=

4

5

，過該圓上任意一點作圓的切線l，試證明l和橢圓C₁恒有兩個交點A，B，且有

OA

•

OB

=0；
（3）在（2）的條件下求弦AB長度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)求得b，根據(jù)過C₁的焦點且垂直長軸的弦長軸的弦長為1．求得

2b2

a

=1，進而求得a，則橢圓的方程可得．
（2）根據(jù)橢圓方程和圓的半徑小于1判斷圓O必在橢圓內(nèi)部設(shè)切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而可表示出切線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而根據(jù)y₁和y₂的表達式，求得y₁y₂的表達式，進而代入x₁x₂+y₁y₂求得結(jié)果為0，進而判斷出

OA

•

OB

=0．
（3）設(shè)∠A=θ，則∠B=90°-θ，可知OD的值，進而表示出BD和AD，進而表示出AB，確定OA的范圍，sinθ=

OD

OA

確定sinθ的范圍，推斷出tanθ的范圍，進而確定AB的范圍．

解答：解：依題意有

b=1 2b2 a =1

⇒

a=2 b=1

．
（1）C1：

x2

4

+y2=1．

（2）由

x2

4

+y2=1，且半徑r=

2 5

5

＜1，所以圓O必在橢圓內(nèi)部，
所以過該圓上任意一點作切線必與橢圓恒有兩個交點．
設(shè)切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則切線方程為x0x+y0y=

4

5

（1），
又由（1）知C1：

x2

4

+y2=1（2）
聯(lián)立（1）（2）得：(

y

2 0

+4

x

2 0

)

x

2

-

32

5

x0x-4

y

2 0

+

64

25

=0，x1x2=

64 25 -4 y 2 0

y 2 0 +4 x 2 0

，x1+x2=

32 5 x 2 0

y 2 0 +4 x 2 0

，
又y1=

4 5 -x0 x   1

y0

，y2=

4 5 -x0 x   2

y0

，y1y2=

16 25 -4 x 2 0

y 2 0 +4 x 2 0

，
所以，欲證

OA

•

OB

=0，即證：x₁x₂+y₁y₂=0，
因為：x1x2+y1y2=

64 25 -4 y 2 0

y 2 0 +4 x 2 0

+

16 25 -4 x 2 0

y 2 0 +4 x 2 0

=

80 25 -4( x 2 0 + y 2 0 )

y 2 0 +4 x 2 0

=

80 25 -4× 4 5

y 2 0 +4 x 2 0

=0
所以，

OA

•

OB

=0命題成立．

（3）設(shè)∠A=θ，則∠B=90°-θ，OD=r=

2 5

5

，BD=

OD

tan(900-θ)

，AD=

OD

tanθ

，
則AB=

OD

tan(900-θ)

+

OD

tanθ

=OD•(tanθ+

1

tanθ

)=

2 5

5

，
所以O(shè)A∈[1，2]，OD=

2 5

5

，所以sinθ=

OD

OA

∈[

5

5

，

2 5

5

]，又θ為銳角，
所以tanθ∈[

1

2

，2]，則有tanθ+

1

tanθ

∈[2，

5

2

]，所以AB∈[

4 5

5

，

5

]．

點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運算能力．