Question

某跳水運動員在一次跳水訓練時的跳水曲線為如圖所示的拋物線一段，已知跳水板AB長為2m，跳水板距水面CD的高BC為3m，CE=5m，CF=6m，為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓練時跳水曲線應在離起跳點hm（h≥1）到達距水面最大高度4m，規(guī)定：以CD為橫軸，CB為縱軸建立坐標系．
（1）當h=1時，求跳水曲線所在的拋物線方程；
（2）若跳水運動員在區(qū)域EF內如水時才能達到壓水花的訓練要求，求達到壓水花的訓練要求時h的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得最高點為（2+h，4），h≥1，將拋物線方程設為頂點式方程，當h=1時，最高點為（3，4），代入方程可求出拋物線方程；
（2）將點A（2，3）代入解析式可得一關系式，從而得到方程a[x-（2+h）]²+4=0在區(qū)間[5，6]內有一解，由此入手能求出達到壓水花的訓練要求時h的取值范圍．

解答：解：（1）由題意知最高點為（2+h，4），h≥1．
設拋物線方程為y=a[x-（2+h）]²+4，
當h=1時，最高點為（3，4），方程為y=a（x-3）²+4，
將A（2，3）代入，得3=a（2-3）²+4，
解得a=-1，
∴當h=1時，跳水曲線所在的拋物線方程為y=-（x-3）²+4．
（2）將點A（2，3）代入y=a[x-（2+h）]²+4，
得ah²=-1，①
由題意，方程a[x-（2+h）]²+4=0在區(qū)間[5，6]內有一解，
令f（x）=a[x-（2+h）]²+4=-

1

h2

[x-（2+h）]²+4，
則f（5）=-

1

h2

（3-h）²+4≥0，且f（6）=-

1

h2

（4-h）²+4≤0．
解得1≤h≤

4

3

，
故達到壓水花的訓練要求時h的取值范圍是[1，

4

3

]．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．屬于中檔題．