(1)如圖,證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線,b是π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在π上的投影,若a⊥b,則a⊥c”為真.
(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假(不需要證明)

證明:(1)證法一:如圖,過直線b上任一點作平面α的垂線n,設(shè)直線a,b,c,n對應(yīng)的方向向量分別是,則共面,
根據(jù)平面向量基本定理,存在實數(shù)λ,μ使得
=
因為a⊥b,所以,
又因為a?α,n⊥α,
所以,
,從而a⊥c
證法二
如圖,記c∩b=A,P為直線b上異于點A的任意一點,過P做PO⊥α,垂足為O,則O∈c,
∵PO⊥α,a?α,
∴直線PO⊥α,
又a⊥b,b?平面PAO,PO∩b=P,
∴a⊥平面PAO,
又c?平面PAO,
∴a⊥c
(2)逆命題為:a是平面α內(nèi)的一條直線,b是α外的一條直線(b不垂直于α),c是直線b在α上的投影,若a⊥c,則a⊥b,
逆命題為真命題
分析:(1)證法一:做出輔助線,在直線上構(gòu)造對應(yīng)的方向向量,要證兩條直線垂直,只要證明兩條直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積等于0,根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到結(jié)果.
證法二:做出輔助線,根據(jù)線面垂直的性質(zhì),得到線線垂直,根據(jù)線面垂直的判定定理,得到線面垂直,再根據(jù)性質(zhì)得到結(jié)論.
(2)把所給的命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置,得到原命題的逆命題,判斷出你命題的正確性.
點評:本題考查用向量的方法證明線線垂直,利用線面垂直的判定和性質(zhì)證明線線垂直,考查命題的逆命題的寫法,本題是一個綜合題目,是一個中檔題.
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