Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（1）若函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）a=1時函數(shù)f（x）有三個互不相同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若對任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要使函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，只需f′（x）=0在[-1，1]上沒有實(shí)根即可，即f′（x）=0的兩根x=-a或x=

a

3

不在區(qū)間[-1，1]上；
（2）a=1時，f（x）=x³+x²-x+m，f（x）有三個互不相同的零點(diǎn)，即m=-x³-x²+x有三個互不相同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，從而確定m的取值范圍；
（3）求導(dǎo)函數(shù)，來確定極值點(diǎn)，利用a的取值范圍，求出f（x）在x∈[-2，2]上的最大值，再求滿足f（x）≤1時m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0），∴f′（x）=3x²+2ax-a²，
∵f（x）在x∈[-1，1]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，∴方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上沒有實(shí)數(shù)根，
由△=4a²-12×（-a²）=16a²＞0，二次函數(shù)對稱軸x=-

a

3

＜0，
當(dāng)f′（x）=0時，即（3x-a）（x+a）=0，解得x=-a或x=

a

3

，
∴

-a＜-1 a 3 ＞1

，或

a

3

＜-1（a＜-3不合題意，舍去），解得a＞3，
∴a的取值范圍是{a|a＞3}；
（2）當(dāng)a=1時，f（x）=x³+x²-x+m，
∵f（x）有三個互不相同的零點(diǎn)，
∴f（x）=x³+x²-x+m=0，即m=-x³-x²+x有三個互不相同的實(shí)數(shù)根．
令g（x）=-x³-x²+x，則g′（x）=-（3x-1）（x+1）
令g′（x）＞0，解得-1＜x＜

1

3

；令g′（x）＜0，解得x＜-1或x＞

1

3

，
∴g（x）在（-∞，-1）和（

1

3

，+∞）上為減函數(shù)，在（-1，

1

3

）上為增函數(shù)，
∴g（x）_極小=g（-1）=-1，g（x）_極大=g（

1

3

）=

5

27

；
∴m的取值范圍是（-1，

5

27

）；
（3）∵f′（x）=0時，x=-a或x=

a

3

，
且a∈[3，6]時，

a

3

∈[1，2]，-a∈（-∞，-3]；
又x∈[-2，2]，∴f′（x）在[-2，

a

3

）上小于0，f（x）是減函數(shù)；
f′（x）在（

a

3

，2]上大于0，f（x）是增函數(shù)；
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}，
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0，
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m，
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立，
∴f（x）_max≤1，即-8+4a+2a²+m≤1，
即m≤9-4a-2a²，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a²在a∈[3，6]上是減函數(shù)，最小值為-87
∴m≤-87，
∴m的取值范圍是{m|m≤-87}．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，以及不等式恒成立的問題，屬于難題．