Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（0，

3

），離心率為

1

2

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）與F₂（c，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為A，過點(diǎn)M（-4，0）作斜率為k（k≠0）的直線l，交橢圓C于B、D兩點(diǎn)（B在M、D之間），N為BD中點(diǎn)，并設(shè)直線ON的斜率為k₁．
（i）證明：k•k₁為值；
（ii）是否存在實(shí)數(shù)k，使得F₁N⊥AD？如果存在，求直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由橢圓經(jīng)過點(diǎn)（0，

3

），離心率為

1

2

，可得

b= 3 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）（i）設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），線段BD的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．由題意可得直線l的方程為：y=k（x+4），與橢圓方程聯(lián)立化為（3+4k²）x²+k²x+64k²-12=0，由△＞0，可得k2＜

1

4

，且k≠0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得k1=

y0

x0

=-

3

4k

，即可證明．
（ii）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得F₁N⊥AD，則kF1N•kAD=-1，利用斜率計(jì)算公式可得x₂=-8k²-2＜-2，與x₂≥-2矛盾．

解答： 解：（I）∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)（0，

3

），離心率為

1

2

，
∴

b= 3 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=1，b=

3

．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）（i）證明：設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），線段BD的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．
由題意可得直線l的方程為：y=k（x+4），
聯(lián)立

y=k(x+4) x2 4 + y2 3 =1

，化為（3+4k²）x²+k²x+64k²-12=0，
由△＞0，可得k2＜

1

4

，且k≠0．
∴x₁+x₂=

-64k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

．
∴x0=

x1+x2

2

=

-16k2

3+4k2

，y₀=k（x₀+4）=

12k

4k2+3

，
∴k1=

y0

x0

=-

3

4k

，即k₁•k=-

3

4

為定值．
（ii）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得F₁N⊥AD，則kF1N•kAD=-1，
∵kF1N=

y0

x0+1

=

12k 3+4k2

-16k2 3+4k2 +1

=

4k

1-4k2

，k_AD=

y2

x2+2

=

k(x2+4)

x2+2

，
∴

4k

1-4k2

×

k(x2+4)

x2+2

=-1，化為x₂=-8k²-2＜-2，與x₂≥-2矛盾，
∴直線l不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．