Question

【題目】如圖，已知拋物線x2＝y，點，拋物線上的點，過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

Answer 1

【答案】(1)(－1，1).(2) .

【解析】試題分析：

（1）通過點在拋物線上，可設，利用斜率公式結合可得結論；

（2）通過（1）值， ，設直線的斜率為，聯(lián)立直線方程可知點坐標，進而可用 表示，計算，通過令，求導結合單調性可得結論.

試題解析：

(1)由題意得P(x，x2)，－＜x＜.

設直線AP的斜率為k，

故k＝＝x－∈(－1，1)，

故直線AP斜率的取值范圍為(－1，1).

(2)由(1)知P，－＜x＜，

則直線AP的方程為：y＝kx＋k＋，

直線BQ的方程為：y＝－x＋＋，

聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標是xQ＝，

因為|PA|＝＝(k＋1)，

|PQ|＝(xQ－x)＝－，

所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3，

令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，則f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，

當k∈時，f′(k)＞0；當k∈時，f′(k)＜0，

所以f(k)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.

因此當k＝時，|PA|·|PQ|取得最大值.