Question

【題目】已知（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若有兩個零點，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）（1）；（2） 見解析.

【解析】試題分析：（I）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，分別令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（II）（1）由（Ⅰ）知，當時， 在R上為增函數(shù)， 不合題意；當時， 的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，只需，即可解得的取值范圍；（2）分離參數(shù),問題轉化為證明證明,不妨設,記,則,因此只要證明： ，即根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為R， ，（1）當時， 在R上恒成立，∴在R上為增函數(shù)； （2）當時，令得，令得，∴的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，當時， 在R上為增函數(shù)， 不合題意；

當時， 的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，

又，當時， ，∴有兩個零點，則，解得；

（2）由（Ⅱ）（1），當時， 有兩個零點，且在上遞增， 在上遞減，依題意， ，不妨設．

要證，即證，

又，所以，

而在上遞減，即證，

又，即證，（ ）．

構造函數(shù)，

，∴在單調(diào)遞增，

∴，從而，

∴，（ ），命題成立．