已知不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＞
1
12
loga(a-1)+
2
3
對(duì)大于1的自然數(shù)n都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
1＜a＜
1+
5
2
1＜a＜
1+
5
2
．
分析：設(shè)Sn=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
，（n≥2），由已知，只需
1
12
loga(a-1)+
2
3
小于Sn的最小值，利用作差法得出Sn隨n的增大而增大，當(dāng)n=2時(shí)Sn取得最小值
7
12
，再解對(duì)數(shù)不等式即可．
解答：設(shè)Sn=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
，（n≥2）則S n+1=
1
n+2
+…+
1
2n
+
1
2n+1
+
1
2n+2
  
  Sn+1-Sn=
1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1
=
1
2n+1
-
1
2n+2
＞0，∴Sn隨n的增大而增大．當(dāng)n=2時(shí)，Sn取得最小值，S2=
1
3
+
1
4
=
7
12

∴
7
12
＞
1
12
loga(a-1)+
2
3
恒成立． 移向化簡整理得loga（a-1）＜-1．①
根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)為正得：a-1＞0，a＞1，①再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得a-1＜
1
a
，a2-a-1＜0，②
①②聯(lián)立解得1＜a＜
1+
5
2

故答案為：1＜a＜
1+
5
2
點(diǎn)評(píng)：本題是不等式、函數(shù)、數(shù)列的結(jié)合，考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，對(duì)數(shù)不等式，分式不等式的解．考查不等式恒成立問題、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知不等式
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
1
2
[log2n]，其中n為大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù)．設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且滿足a1=b（b＞0），an≤
nan-1
n+an-1
，n=2，3，4，…．證明：an＜
2b
2+b[log2n]
，n=3，4，5，…．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＞a對(duì)一切大于1的自然數(shù)n都成立，則a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知不等式
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
1
2
[log2n]，其中n為大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù)．設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且滿足a1=b(b＞0)，an≤
nan-1
n+an-1
，n=2，3，4，…
（Ⅰ）證明an＜
2b
2+b[log2n]
，n=3，4，5，…
（Ⅱ）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，對(duì)任意b＞0，都有an＜
1
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知不等式
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
＞
1
12
loga(a-1)+
2
3
對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n都成立．
求證：實(shí)數(shù)a的取值范圍是1＜a＜
1+
5
2
．

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