Question

已知不等式

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

[log2n]，其中n為大于2的整數(shù)，[log₂n]表示不超過(guò)log₂n的最大整數(shù)．設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正，且滿足a₁=b（b＞0），a_n≤

nan-1

n+an-1

，n=2，3，4，…．證明：a_n＜

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…．

Answer 1

分析：欲證明：a_n＜

2b

2+b[log2n]

，設(shè)f（n）=

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式a_n＜

b

1+f(n)b

，再結(jié)合條件即可解決．

解答：證明：設(shè)f（n）=

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式a_n＜

b

1+f(n)b

，n=3，4，5．
（�。┊�(dāng)n=3時(shí)，由a₃≤

3a2

3+a2

=

3

3 a2 +1

≤

3

3• 2+a1 2a1 +1

=

b

1+f(3)b

，知不等式成立．
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，不等式成立，即a_k＜

b

1+f(n)b

，則a_k+1≤

(k+1)ak

(k+1)+ak

=

k+1

k+1 ak +1

＜

k+1

(k+1)• 1+f(k)b b +1

=

(k+1)b

(k+1)+(k+1)f(k)b+b

=

b

1+(f(k)+ 1 k+1 )b

=

b

1+f(k+1)b

即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）知，a_n＜

b

1+f(n)b

，n=3，4，5，…
又由已知不等式得a_n＜

b

1+ 1 2 [log2n]b

=

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式．設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若：（1）P（n₀）成立（奠基）；（2）假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立