已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），過(guò)點(diǎn)A
-a，0
，B
0，b
的直線(xiàn)傾斜角為
π
6
，原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為
3
2
，求橢圓的方程．
分析：過(guò)點(diǎn)A
-a，0
，B
0，b
的直線(xiàn)方程為
x
-a
+
y
b
=1，化為bx-ay+ab=0．由于過(guò)點(diǎn)A
-a，0
，B
0，b
的直線(xiàn)傾斜角為
π
6
，可得
b
a
=tan
π
6
=
3
3
．又原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為
3
2
，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得
ab
a2+b2
=
3
2
，聯(lián)立解得即可．
解答：解：過(guò)點(diǎn)A
-a，0
，B
0，b
的直線(xiàn)方程為
x
-a
+
y
b
=1，化為bx-ay+ab=0．
∵過(guò)點(diǎn)A
-a，0
，B
0，b
的直線(xiàn)傾斜角為
π
6
，∴
b
a
=tan
π
6
=
3
3
．
又原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為
3
2
，∴
ab
a2+b2
=
3
2
，
聯(lián)立
b
a
=
3
3
ab
a2+b2
=
3
2
，解得
a=
3
b=1
．
∴橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)的截距式、斜率計(jì)算公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿(mǎn)足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線(xiàn)AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線(xiàn)l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線(xiàn)l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線(xiàn)x=2的垂線(xiàn)AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線(xiàn)l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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