Question

設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域分別為D_J，D_E．且D_J?D_E，若對于任意x∈D_J，都有g(shù)（x）=f（x），則稱函數(shù)g（x）為f（x）在D_E上的一個延拓函數(shù)．設(shè)f（x）=xlnx（x＞0），g（x）為f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一個延拓函數(shù)，且g（x）是奇函數(shù)，則g（x）=________；設(shè)f（x）=2^x-1（x≤0），g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數(shù)，且g（x）是偶函數(shù)，則g（x）=________．

Answer 1

xln|x|    2^-|x|-1
分析：利用題目提供的信息，可得g（x）在D_J上的解析式，然后通過函數(shù)的奇偶性可求得其在對稱區(qū)間上解析式，綜合結(jié)論即可得答案．
解答：∵若f（x）=xlnx（x＞0），g（x）為f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一個延拓函數(shù)
∴當(dāng)x＞0時，g（x）=f（x）=xlnx 又∵g（x）是奇函數(shù)∴當(dāng)x＜0時，-x＞0∴f（-x）=（-x）ln（-x）=-xln（-x）=-f（x）
∴f（x）=xln（-x），x＜0 綜上當(dāng)x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時，f（x）=xln|x|
若f（x）=2^x-1（x≤0），g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數(shù)∴當(dāng)x≤0時，g（x）=f（x）=2^x-1∵g（x）是偶函數(shù)
∴當(dāng)x＞0時，-x＜0∴g（-x）=g（x）=2^-x-1 x＞0 綜上g（x）=2^-|x|-1
故答案為：xln|x；|2^-|x|-1
點評：本題是個新定義題，主要考查利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法，在解題時注意對于新定義的理解，是個中檔題．