Question

對于定義在集合D上的函數(shù)y=f（x），若f（x）在D上具有單調(diào)性且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b）使當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的“正函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為f（x）的“等域區(qū)間”．
（1）已知函數(shù)f（x）=x³是正函數(shù)，試求f（x）的所有等域區(qū)間；
（2）若g(x)=

x+2

+k是正函數(shù)，試求實數(shù)k的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)a，b（a＜b＜1）使得函數(shù)f(x)=|1-

1

x

|是[a，b]上的“正函數(shù)”？若存在，求出區(qū)間[a，b]，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導數(shù)符號可知f（x）=x³在R上是增函數(shù)，則x∈[a，b]時，f（x）的值域為[a³，b³]，最后根據(jù)f（x）=x³是正函數(shù)建立等式關(guān)系，解之即可求出所求；
（2）g(x)=

x+2

+k在[-2，+∞）上是增函數(shù)，則x∈[a，b]時，f（x）的值域為[g（a），g（b）]，根據(jù)g(x)=

x+2

+k是正函數(shù)，建立等式關(guān)系，即k=(

x+2

)2-

x+2

-2有兩個不等的實根，數(shù)形結(jié)合即可求出k的范圍；
（3）假設(shè)存在區(qū)間[a，b]，使得x∈[a，b]時，H(x)=|1-

1

x

|的值域為[a，b]，討論當a＜b＜0時與當0＜a＜b＜1時是否存在實數(shù)a、b即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²≥0
∴f（x）=x³在R上是增函數(shù)
則x∈[a，b]時，f（x）的值域為[a³，b³]
又f（x）=x³是正函數(shù)
∴

a=a3 b=b3 b＞a

解得

a=0 b=1

或

a=-1 b=0

或

a=-1 b=1

故f（x）的等域區(qū)間有三個：[0，1]，[-1，0]，[-1，1]…（5分）
（2）∵g(x)=

x+2

+k在[-2，+∞）上是增函數(shù)
∴x∈[a，b]時，f（x）的值域為[g（a），g（b）]
若g(x)=

x+2

+k是正函數(shù)，則有

g(a)=b g(b)=b

即

a= a+2 +k b= b+2 +k

故方程x=

x+2

+k有兩個不等的實根．…（7分）
即k=(

x+2

)2-

x+2

-2有兩個不等的實根
令

x+2

=t≥0，h(t)=t2-t-2=(t-

1

2

)2-

9

4

(t≥0)
數(shù)形結(jié)合知：k∈(-

9

4

，-2]…（9分）
（3）假設(shè)存在區(qū)間[a，b]，使得x∈[a，b]時，H(x)=|1-

1

x

|的值域為[a，b]，又0∉[a，b]故ab＞0
當a＜b＜0時，H(x)=1-

1

x

在[a，b]上單增．
∴

a=1- 1 a b=1- 1 b

⇒a，b是方程x=1-

1

x

的兩負根
又方程x²-x+1=0無解
故此時不存在…（11分）
當0＜a＜b＜1時，H(x)=

1

x

-1在[a，b]上單減
∴

a= 1 b -1 b= 1 a -1

⇒

ab=1-b ab=1-a

⇒a=b，又a＜b
故此時不存在…（13分）
綜上可知：不存在實數(shù)a＜b＜1使得f（x）的定義域和值域均為[a，b]…（14分）

點評：本題主要考查了函數(shù)值域的求解，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．