Question

（2007•武漢模擬）在一個(gè)單位中普查某種疾病，600個(gè)人去驗(yàn)血，對(duì)這些人的血的化驗(yàn)可以用兩種方法進(jìn)行：
方法一：每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要化驗(yàn)600次；
方法二：把每個(gè)人的血樣分成兩份，取k（k≥2）個(gè)人的血樣各一份混在一起進(jìn)行化驗(yàn)，如果結(jié)果是陰性的，那么對(duì)這k個(gè)人只作一次檢驗(yàn)就夠了；如果結(jié)果陽(yáng)性的，那么再對(duì)這k個(gè)人的另一份血樣逐個(gè)化驗(yàn)，這時(shí)對(duì)這k個(gè)人共需作k+1次化驗(yàn)．
假定對(duì)所有的人來(lái)說(shuō)，化驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性的概率是0.1，而且這些人的反應(yīng)是獨(dú)立的．將每個(gè)人的血樣所需的檢驗(yàn)次數(shù)作為隨機(jī)變量ξ．
（1）寫出方法二中隨機(jī)變量ξ的分布列，并求數(shù)學(xué)期望Eξ（用k表示）；
（2）現(xiàn)有方法一和方法二中k分別取3、4、5共四種方案，請(qǐng)判斷哪種方案最好，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：取0.9³=0.729，0.9⁴=0.656，0.9⁵=0.591）

Answer 1

分析：（1）對(duì)于方法二，當(dāng)k個(gè)人一組的混合血液呈陰性時(shí)，可以認(rèn)為每個(gè)人需要化驗(yàn)的次數(shù)為

1

k

次；當(dāng)k個(gè)人一組的混合血液呈陽(yáng)性時(shí)，可以認(rèn)為每個(gè)人需要化驗(yàn)的次驗(yàn)為

1

k

+1次，然后分別求出相應(yīng)的概率，利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可；
（2）對(duì)方法一：P（ξ=1）=1    Eξ=1，然后計(jì)算出方法二中k分別取3、4、5時(shí)的數(shù)學(xué)期望，比較四種方案即可判定哪種方案最好．

解答：解：（1）對(duì)于方法二，k個(gè)人一組的混合血液呈陰性結(jié)果的概率為0.9^k，呈陽(yáng)性結(jié)果的概率為1-0.9^k．
當(dāng)k個(gè)人一組的混合血液呈陰性時(shí)，可以認(rèn)為每個(gè)人需要化驗(yàn)的次數(shù)為

1

k

次；當(dāng)k個(gè)人一組的混合血液呈陽(yáng)性時(shí)，可以認(rèn)為每個(gè)人需要化驗(yàn)的次驗(yàn)為

1

k

+1次．
所以（3分）

ξ	1 k	1+ 1 k
P	0.9k	1-0.9k

∴Eξ=

1

k

×0.9k+(1+

1

k

)(1-0.9k)=1+

1

k

-0.9k．（5分）
（2）對(duì)方法一：P（ξ=1）=1    Eξ=1．（6分）
當(dāng)k=3時(shí)，Eξ=1+

1

3

-0.93≈0.604；
當(dāng)k=4時(shí)，Eξ=1+

1

4

-0.94≈0.597；
當(dāng)k=5時(shí)，Eξ=1+

1

5

-0.95≈0.609．（9分）
比較知k=4時(shí)的方案最好（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了離散型變量的數(shù)學(xué)期望以及計(jì)算能力，屬于中檔題．