(2007•武漢模擬)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB=AD=1,∠BAD=θ,而△BCD是正三角形,
(1)將四邊形ABCD面積S表示為θ的函數(shù);
(2)求S的最大值及此時θ角的值.
分析:(1)四邊形ABCD的面積分為兩三角形面積之和來求,三角形ABD的面積由AB,AD及sinA的值,利用三角形的面積公式可表示出,三角形BCD為等邊三角形,其面積為
3
4
BD2,接著由AB,AD及cosA的值,利用余弦定理表示出BD2,可表示出三角形BCD的面積,兩者相加去括號后,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡可表示出四邊形ABCD的面積,并求出此時θ的范圍;
(2)由(1)表示出的S關(guān)系式,根據(jù)θ的范圍,求出θ-
π
3
的范圍,再由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出面積S的最大值,以及此時θ的度數(shù).
解答:解:(1)△ABD的面積S=
1
2
AB•AD•sinA=
1
2
×1×1×sinθ=
1
2
sinθ,
∵△BDC是正三角形,則△BDC面積=
3
4
BD2,
由△ABD及余弦定理可知:BD2=12+12+2•1•1•cosθ=2-2cosθ,
于是四邊形ABCD面積S=
1
2
sinθ+
3
4
(2-2cosθ),
整理得:S=
3
2
+sin(θ-
π
3
)其中0<θ<π;
(2)由(1)得到的S=
3
2
+sin(θ-
π
3
),
∵0<θ<π,∴-
π
3
<θ-
π
3
3
,
則當(dāng)θ-
π
3
=
π
2
時,S取得最大值1+
3
2
,此時θ=
π
3
+
π
2
=
6
點評:此題考查了三角形的面積公式,余弦定理,等邊三角形的性質(zhì),兩角和與差的正弦函數(shù)公式以及正弦函數(shù)的定義域和值域,綜合性比較強,熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.
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4
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x2
a2
-
y2
b2
=1 (a>0,b>0)交于A、B兩點,|AB|=
12
11
,又l關(guān)于直線l1:y=
b
a
x對稱的直線l2與x軸平行.
(1)求雙曲線C的離心率;(2)求雙曲線C的方程.

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